126 Arithmetik und Algebra, 
erwarten, dass Verlust und Gewinn beider Spieler sich um so mehr — den betreffenden Wahr- 
scheinlichkeiten entsprechend — ausgleichen werden, je grósser die Anzahl der Spiele ist. 
Ist. überhaupt auf das Eintreffen eines Ereignisses ein Preis C gesetzt, so 
nennt man mathematische Hoffnung des Preises das Produkt aus dem 
letzteren und der Wahrscheinlickeit zv, dass das Ereigniss eintrete. Dieses Pro- 
dukt z'- C bestimmt die Grósse des Einsatzes e, welchen der das betreffende 
Ereigniss erwartende Spieler zu machen hat. Spielen also mehrere um den- 
selben Preis C, und sind die betreffenden Wahrscheinlichkeiten zu gewinnen 
wy, W2, t3, ... und die bezüglichen Einsátze e,, e2, £3, ..., SO muss 
6:62:64 1... m Wil: Wal: Walt... = 4042002 203 2... 
sein. Die Summe e + @ + £3 2-.... süámmtlicher Einsátze muss den gesetzten 
Preis C ausmachen; dieser letztere vertheilt sich also auf die einzelnen Einsátze 
nach dem Verháültniss der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. 
Sind gleichzeitig auf das Eintreffen mehrerer von einander unabhängiger 
Ereignisse Preise Ci, C», C3, ... gesetzt worden, so ist die mathematische 
Hoffnung für das Erlangen eines dieser Preise gleich der Summe der mathe- 
matischen Hoffnungen für die einzelnen Preise, und demnach der zu leistende 
Einsatz 
€ — qw C, -- 02 C9 + 203 C3 -- ..., 
denn man kann diesen Fall ebenso ansehen, als wenn ebenso viele von einander 
unabhängige Spiele gemacht würden, als Preise vorhanden sind, und deshalb 
ist der Gesammt-Einsatz auch gleich der Summe der Einsätze für diese einzelnen 
Spiele. Dabei kann es auch vorkommen, dass der eine oder der andere der 
Preise negativ ist, d. h. dass bei dem Eintreffen des bezüglichen Ereignisses 
von dem Spieler ein Betrag herausgezahlt werden soll. 
Es seien z. B. in einer Lotterie von 1000 Nummern ein Preis von 10000 Mark, 10 Preise 
von 1000 Mark und 100 Preise von 100 Mark ausgesetzt, so ist der Werth eines einzelnen 
Looses gleich 
ko + 10000 + +12, - 1000 -- 4,9, - 100 — 30. Mark 
Soll ferner aus einer Urne mit 7 weissen und 3 schwarzen Kugeln eine Kugel unter der 
Bedingung gezogen werden, dass, wer eine weisse Kugel zieht, 1 M. erhált, dagegen wer eine 
schwarze Kugel zieht, 1 M. zahlt, so betrügt der Einsatz für einen einzelnen Zug 
3 - M. 
T1. } Be — 
il 10 ]—i 
[I 
Werden die ausgesetzten Preise erst in bestimmten späteren Terminen 
fällig, so sind dieselben selbstverständlich vor der Berechnung des Einsatzes auf 
ihren gegenwärtigen Werth zu discontiren. 
Von der mathematischen Hoffnung des Preises ist die des Gewinnes oder 
des Verlustes zu unterscheiden, welche erst nach Berechnung des Einsatzes 
ermittelt werden kann. Der Gewinn des Spielers ist gleich dem Ueberschuss 
des Preises über den Einsatz, also gleich c — e, oder was dasselbe ist, gleich 
dem Einsatz des Gegners, bezw. der Summe der Einsátze sámmtlicher mit- 
spielender Gegner. Die mathematische Hoffnung des Gewinnes, welche auch 
das mathematische Risiko genannt wird, ist gleich dem Produkt aus dem 
zu erwartenden Gewinn und der Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, also gleich 
w - (c — e), oder bei zwei Spielern, deren Einsätze bezüglich e und «4 und deren 
Wahrscheinlichkeiten zu gewinnen zv und z/ sind, bezüglich ze e - und w1- €, 
Ist das mathematische Risiko auf beiden Seiten gleich gross, so verhalten 
sich ebenfalls die Einsátze, wie die zugehórigen Wahrscheinlichkeiten, oder aus 
wie = we, folgt zo: 04 — e: e, und umgekehrt. 
        
  
  
  
  
   
  
   
   
  
   
  
  
  
   
  
  
  
  
   
   
   
   
   
   
  
   
   
  
   
    
     
   
  
  
  
   
    
    
    
  
  
   
   
    
     
Vers 
Kass 
keite 
geste 
beso: 
die ] 
Gros 
der 1 
Wen 
werd 
meid 
Finfli 
einze 
Wert 
ange: 
dass 
und 
zu se 
Dabe 
In. v 
unmi 
abgel 
gróss 
aus v 
die L 
math 
derse 
Gaus 
geht 
keit 
seine] 
klein 
4 
der 
Anzal 
Umst: 
Wertl 
mal 1 
Witte; 
obach 
Wech 
da hi 
welch 
Wiede 
Jemar 
Beobz 
Beobe