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Arithmetik und Algebra.
d. i. (y — 5)10 = a10 — 10492 + 45 a852 — 120 0762 + 210 a654 — 252 a505
+ 210 2426 — 120 0307 + 45 268 — 10409 + 610.
Die in dieser Entwicklung vorkommenden Zahlenausdrücke
2 n(n—1) n(n—1)(n—2)
q qa 0.9.55 7
welche schon früher kürzer durch
(1) (5) (3) ws vw
bezeichnet wurden, werden die Binomial-Coefficienten zur zten Potenz ge-
nannt. Der pte Binomialcoeificient ist also
n n(n—1)(n—2)...(n—p+1)
(- 1.9.8 1.7
Derselbe ist der Coefficient des z 4- 1ten Gliedes im binomischen Lehrsatze
und gleich der Anzahl der Combinationen von z Elementen zur ?ten Klasse ohne
Wiederholungen, sowie gleich der Anzahl der Permutationen von z Elementen,
unter denen sich ? gleiche einer Art und z — p gleiche einer anderen Art befinden.
Da die Werthe von z als ganze, positive Zahlen vorausgesetzt sind, so bilden
die Faktoren des Zühlers eines Binomialcoefficienten ganze Zahlen, von denen jede
folgende um 1 kleiner ist als die vorhergehende, und man muss daher bei der Bildung
dieser Coefficienten einmal zu einem Faktor im Zähler kommen, welcher gleich
Null ist. Dies findet statt, wenn z — ? -- 1—0, also 5 — 42 + 1 ist. Somit wird
der z-- 1te Coefficient und ebenso jeder folgende gleich Null Hiernach wird
auch das z + 2te und jedes folgende Glied der rechten Seite des binomischen
Lehrsatzes gleich Null, oder diese Seite besteht aus z + 1 Gliedern.
3. Die wichtigsten Eigenschaften der Binomialcoefficienten sind
folgende:
0. 8 Wa,
Der Coefficient (0) = 1 des ersten Gliedes ist gleich dem des letzten, der
Coefficient (1) des ersten Gliedes gleich dem des vorletzten u. s. w., allgemein
der des pten Gliedes gleich dem des » — p + 2ten, denn jener ist gleich
nn—1)..n—p+ 2)
jc oU S
; 1 #-(R—1)..(4—Pp +2) (3 —p + 1)(2 —p)...(p +1) f
die sehr v cl s C tA
und in dem letzteren Quotienten heben sich alle auf (z — p + 2) folgenden Fak-
toren des Záhlers gegen die auf p — 1 folgenden des Nenners auf. Die Binomial-
coefficienten für irgend eine ganze positive Potenz bilden also eine Reihe von
Zahlen, deren erste Hälfte von der Mitte an in umgekehrter Reihenfolge wieder-
kehrt.
Demnach ist das letzte Glied 6”, das vorletzte zab”-—1, u. s. w.
Aus den Binomialcoefficienten zu irgend einer Potenz erhält man diejenigen
zur nächst höheren Potenz, indem man je zwei aufeinanderfolgende der ersteren, mit
Einschluss von (6) = 1 und (2) = 1, addirt. Dieser Satz ist bereits oben bei dem
allgemeinen Beweise von (1) in Betreff der Combinationen bewiesen worden; um
denselben speciell für den hier vorliegenden Fall zu beweisen, hat man zu
zeigen, dass
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