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58 Arithmetik und Algebra. 
— 13, +14, — 4, — 16 --— 13, +14, +15, — 4 
Die Werthe der Unbekannten werden durch das vorstehende Verfahren in 
Form von Quotienten zweier Aggregate erhalten, deren Glieder Produkte von 
4 Faktoren sind. Wendet man dagegen das gewóhnliche Eliminationsverfahren 
an, indem man beispielsweise zunüchst den aus einer der gegebenen Gleichungen 
ermittelten Ausdruck für eine Unbekannte in jede der z — 1 übrigen Gleichungen 
einsetzt, so erhült man, wie die Ausführung an irgend einem allgemeinen Beispiel 
leicht zeigt z — 1 Eliminationsgleichungen mit z — 1 Unbekannten, deren 
Coefficienten Produkte von zwei Faktoren sind.  Leitet man dann aus diesen 
entsprechend z — 2 Gleichungen mit z — 2 Unbekannten ab, so werden die 
Coefficienten der letzteren von der 2.29 — 4ten Dimension, und fährt man so 
fort, so wird in der endlichen Schlussgleichung mit nur einer Unbekannten ein 
Coefficient mit 97—1 Faktoren enthalten sein. Es liefert also dieses Eliminations- 
verfahren den Werth der Unbekannten in Form eines Quotienten von Aggregaten, 
deren Glieder 22—1 Faktoren, also 92—1 — u” Faktoren mehr als bei dem vorstehen- 
den enthalten. Diese überflüssigen Faktoren, deren Anzahlen für » = 3, 4, 5, 6 
u.s. w. die rasch steigende Reihe 1, 4, 11, 26 u. s. w. bilden, und welche sich 
in dem Resultat wieder aufheben müssen, werden durch die Anwendung der 
Determinanten erspart. Ausserdem empfiehlt sich die letztere dadurch, dass sie 
die unwissenschaftliche Willkür in der Auswahl und Reihenfolge der jedesmal 
zu eliminirenden Unbekannten beseitigt. 
2. Schon im Vorigen sind sogenannte homogene Gleichungen ersten Grades 
vorgekommen, in welchen die Glieder ohne Unbekannte gleich Null sind. 
Sind z solche Gleichungen mit z Unbekannten 
[^ 1, 16 f] hx bhmede 9 10 
ve 5 + 6 +18 + 8 2. 199: 1 7 5, 4 6,-— 7, +18 | = 956523; 
|t 9, — 10, + 4, +12 — ^7? | 4- 9, — 10, — 11, + 4 uw. 
1 2 3 n 
a X +d Xy+ ay xy +... +4 x, 0 
1 2 3 
ay xy + ay xy + dà Xa cb. cb d$ X, =0 
i 2 9 n 
as x, + 4 X3 + 05 X3 + .. + Ag x, = 0 
* . ° ° . ° 
. . ° * ° . 
^ 2 3 ^ 
a, X, €, xy + a, X3 + .. + a, x, =0 
gegeben, so führt die Auflôsung derselben mittelst Determinanten auf 
0 
mmu su 
In der That überzeugt man sich auch unmittelbar, dass die » Gleichungen 
sümmtlich erfüllt sind, wenn jeder Unbekannten der Werth Null beigelegt wird. 
Es ist jedoch zu beachten, dass in einem besonderen Falle dieser Werth nicht 
aus der vorstehenden Gleichung für x; gefolgert werden darf, námlich dann, 
wenn gleichzeitig der Nenner, also die Determinante des Systems der 7? Coeffi- 
cienten ai, a? u. s. w gleich Null ist. Es erscheinen in diesem Falle vielmehr 
die Werthe sämmtlicher Unbekannten unter der unbestimmten Form %, und hier- 
aus geht hervor, dass dann die % Unbekannten nicht durch die gegebenen 
Gleichungen ermittelt werden können. 
Man erhält dasselbe Resultat auf folgende Weise: Man kann jede der obigen 
4 Gleichungen durch eine und dieselbe beliebig ausgewählte der 7 Unbekannten 
z. B. x, dividiren und erhält dann z Gleichungen mit den z — 1 Verhältnissen 
  
X1 
XE . 
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lich 
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