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11. Elemente der Theorie der Determinanten. 159 
m © |. als Unbekannten. Hieraus geht einerseits hervor, dass durch die 
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obigen z Gleichungen in der That die 7 Unbekannten nicht bestimmt sind, son- 
dern nur die Verháültnisse derselben, sofern die Werthe der ersteren nicht sámmt- 
lich gleich Null sein sollen und also diese Verhältnisse gebildet werden dürfen. 
Andererseits zeigt es sich, dass für die letzteren als die neuen Unbekannten eine 
überzühlige Gleichung gegeben ist, demnach obige z Gleichungen für nicht ver- 
schwindende x nur dann neben einander bestehen kónnen, wenn die aus beliebigen 
n— 1 dieser Gleichungen berechneten Werthe der genannten Verhiltnisse von 
selbst der noch übrigen Gleichung genügen. Damit dieses der Fall sei, müssen 
die Coefficienten a!, a1 u. s. w. einer Bedingung genügen, die dadurch gefunden 
werden kónnte, dass man das eben angegebene Verfahren der Auflósung von 
4— 1 Gleichungen und Substitution der Resultate in die noch übrige Gleichung 
ausführte. Kürzer ergiebt die Vergleichung mit dem, was oben aus der für x; 
gewonnenen Formel abgeleitet wurde, dass diese Bedingung 
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ist. Sind also z homogene Gleichungen ersten Grades mit %z Unbekannten 
gegeben, so ist die Bedingung, dass diese Gleichungen für nicht verschwindende 
Werthe der Unbekannten zusammen bestehen, die, dass die Determinante der 
n1? Coefficienten gleich Null sei, und die Gleichungen bestimmen dann die Ver- 
hältnisse der Unbekannten. Dividirt man jede der Gleichungen etwa durch x, 
und lóst die z — 1 ersten der entstehenden Gleichungen auf die betreffenden 
Verhältnisse nach $ 70, 1 auf, so ergiebt sich, dass die Werthe der Unbekannten sich 
der Reihe nach zu einander verhalten wie diejenigen Unterdeterminanten, welche 
aus den z (z — 1) Coefficienten jener Gleichungen der Reihe nach zu den Ele- 
menten der fehlenden zten Zelle gebildet werden kónnen. 
3. Ist umgekehrt ein System von nicht homogenen Gleichungen mit z Unbe- 
kannten gegeben, so lässt sich aus demselben ein System von eben so vielen 
homogenen Gleichungen ableiten, indem man an Stelle der z Unbekannten. die 
  
Verhältnisse derselben zu einer angenommenen % + lten Unbekannten — die 
später gleich 1 zu setzen ist, wenn man zu den ursprünglichen Gleichungen 
2 : Xt X3 3; : 
zurückkehren wil — also ——-—, ——-—, u. s. w. setzt und dann alle Glieder mit 
X4--1 ^ X44 1 
x, +1 multiplicirt. Waren nun für die z Unbekannten z 4- 1 Gleichungen 
3 . = 
ax, be tty +. d'a, + à !—0, 
u. s. w. gegeben, so ist 
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die Bedingung, dass die zugehórigen homogenen Gleichungen gleichzeitig für 
nicht verschwindende Werthe der x bestehen. Da ferner durch diese homogenen 
Gleichungen nur die Verhältnisse der Unbekannten bestimmt sind, eine der 
letzteren also beliebig angenommen werden kann, so gilt diese Bedingung auch, 
wenn man für x„41 den Werth 1 gesetzt denkt. Es gilt also auch der Satz: 
Sind für z Unbekannte z 4- 1 Gleichungen ersten Grades gegeben 
— deren rechte Seiten auf Null gebracht sind — so ist die Bedingung, 
dass diese Gleichungen sümmtlich durch dieselben Werthe jener 
Unbekannten erfüllt werden, die, dass die Determinante des Systems 
der (7 + 1)? Coefficienten gleich Null sei.