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Arithmetik und Algebra. 
8 71. Weitere Eigenschaften der Determinanten. 
Das Multiplicationstheorem. 
1. Jede Determinante lásst sich als eine solche von einem beliebi- 
gen hóheren Grade darstellen, denn man kann dieselbe stets als Unter- 
determinante eines Systems von Elementen betrachten, welches in einer Zeile 
oder Colonne ein Element 1 und alle übrigen Elemente gleich Null hat. Um 
also eine Determinante zten Grades als eine solche » 4- 1ten Grades darzustellen, 
kann man dem System der Elemente eine Zeile und Colonne hinzufügen, so dass 
irgend ein Element den Werth 1 oder — 1, je nach der Stellung dieses Elements 
hat, die übrigen Stellen einer der beiden hinzugefügten Reihen durch Nullen 
und die der anderen durch ganz beliebige Zahlen ausfüllen. Die so erhaltene 
Determinante z-4-1ten Grades kann dann in gleicher Weise in eine solche 
n + 2ten Grades verwandelt werden, u. s. w. 
So ist z. B. 
  
  
  
  
|10 0 0 lisis Sum | 
| 4, 9, € | 10. 0:0 
| ; | 4 di 6, €, 0 5 
| 49 0$ £9 | — 8 4, 5, eem a ay; 04 €4 b u. S. W. 
| 4&3 9s e | [or or m tr] 
145 73. 63 0T. uu by ty | 
00 —10 
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9. Sind alle Elemente einer Reihe Aggregate von gleicher Glieder- 
zahl, so lässt sich die Determinante in das entsprechende Aggregat 
eben so vieler einzelner Determinanten zerlegen, welche dadurch ent- 
stehen, dass man an Stelle jener Reihe nach einander die einzelnen 
Glieder der betreffenden Aggregate setzt. So ist z. B. 
  
@ + A;, a, a, | d, 45, 05 | 41, 45, d; | 
bby, boy tly 155^ -FI,5,95; 
Co 64 Car £3 | | £j Car €. | £15,055 €3 | 
Allgemein, wenn 
=p +g +r +. 
ay =p, nie da tte 74 7H 600 à Ur S, We 
ist, und man die gegebene Determinante in der Form 
Bed dri dv. ivi 
schreibt, so erhält man durch Substitution der vorstehenden Werthe fiir a d) 
u. s. w. und Ausführung der Multiplicationen 
Rb dic fd ipd 
Hp rp hog A 
+ py 75 + sire A 
deh se n e a, 
womit der vorstehende Satz bewiesen ist. = 
Sind ferner die Elemente irgend einer Reihe Aggregate von je » Gliedern 
und ausserdem die Elemente einer derselben parallelen Reihe Aggregate von je 
n Gliedern, so kann man durch zweimalige Anwendung des vorstehenden Ver- 
fahrens die Determinante in ein Aggregat von 4-7 einfacheren Determinanten 
zerlegen. 
  
  
  
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