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162 Arithmetik und Algebra. 
sich in ganz gleicher Weise für Determinanten jedes beliebigen Grades ent- 
wickeln lässt, und nur die Darstellungsweise bei allgemeiner Behandlung um- 
ständlicher und weniger übersichtlich wird. 
Die oben angegebene Determinante C lässt sich nun, da jede ihrer Reihen 
ein Aggregat von drei Gliedern ist, in eine Summe von 3-3. 3 — 27 einzelnen 
Determinanten zerlegen. Die erste derselben ist 
| at 01, ap 0$, ai bf 
ai bl, af 0}, a} 0} 
230), 34322, 333 
und verwandelt sich durch Absonderung der gemeinschaftlichen Faktoren 21, 62, 62 
der drei Colonnen in 
  
1 al al 
a 
22 a2 
aê at aî |, 
172 53 
61 67 6} 
38133 
| a3 a? a? | 
welcher Ausdruck; da die Colonnen übereinstimmen, gleich Null ist. Dasselbe 
muss der Fall sein bei jeder andern Combination aus C, welche wenigstens 
zwei gleichstellige Colonnen enthilt. Scheidet man aus der Entwicklung von C 
in einzelne Determinanten alle diese gleich Null werdenden aus, so bleiben von 
jenen 27 nur noch 6 übrig. Wählen wir als Repräsentanten der letzteren eine 
derselben aus, z. B. 
1531 21422. 2151 1 51 ni 
at hi, alt}, ai hi | al, ai, a} 
221 42122 22922 [— 5122 23| g2, a2, a3 (== £2 23. 
ab), 4353, a2031 | — 01102 53| a2, 232, a2 | zz ^1 22 73 - À, 
  
  
$71 2152 232753 323 72 
| aió6i, aà08, a$ 0 | ai, a3, a3 | 
so sieht man, dass dieselbe gleich dem Produkt der einen von den oben zu 
multiplicirenden Determinanten mit einem Gliede der Entwicklung der anderen 
ist. Dieses letztere Glied muss für jede andere der vorher erwähnten sechs Deter- 
minanten ein anderes sein, und somit ist das Aggregat der letzteren gleich dem 
Produkt der Determinante 4 mit der Determinante 2, was zu beweisen war. 
Man beachte noch, dass das Produkt zweier Determinanten nach dem vor- 
stehenden Satze auf vier verschiedene Arten gebildet werden kann, da nicht 
bloss, wie in dem Beispiel geschehen, je eine Colonne von À mit einer Colonne 
von J, sondern auch je eine Zeile von 44 mit einer Zeile von J, ferner je eine 
Zeile von À mit einer Colonne von AB und endlich je eine Colonne von À mit 
einer Zeile von B verbunden werden kann. 
Sollen in entsprechender Weise drei oder mehr Determinanten multiplicirt 
werden, so kann man das vorstehende Verfahren wiederholt anwenden, also zu- 
erst das Produkt zweier gegebenen Determinanten 4, B als eine einzige Deter- 
minante C darstellen, dann etwa das Produkt von C mit einer dritten gegebenen 
JD wieder in eine einzige Determinante verwandeln und so bis zum Ende fort- 
fahren. 
Da endlich jede Determinante niedern Grades sich als eine solche von 
beliebig höherem Grade darstellen lässt, so kann auch die Beschränkung, nach 
welcher die zu multiplicirenden Determinanten von demselben Grade sein sollten, 
aufgehoben werden, d. h. man kann jedes Produkt von beliebig vielen 
Determinanten beliebiger Grade in eine einzige-Determinante ver- 
wandeln, deren Grad gleich dem höchsten bei jenen einzelnen vor- 
kommenden ist, und deren Elemente Aggregate aus Elementen jener 
einzelnen sind. 
    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
   
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
     
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