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11. Elemente der Theorie der Determinanten. 163 
4. Man kann noch auf eine andere Weise das Produkt A - B zweier Deter- 
minanten als eine einzige Determinante darstellen. Es sei 4 eine Determinante 
pten, B eine solche gten Grades, so bilde man eine neue Determinante #+gten 
Grades, indem man für die p ersten Elemente der p ersten Zeilen und die der 
p ersten Colonnen die entsprechenden Elemente von 4, und für die 4 letzten 
Elemente der 7 noch folgenden Zeilen und der 4 noch folgenden Colonnen die 
entsprechenden Elemente von Z setzt, die noch übrigen Stellen aber mit Nullen 
ausfüllt, also nach Art des folgenden Beispiels verführt: 
1 
2 
do. ai 0 0 
Bed el 0.0 0 
0 
ei. of 0 0 
0 70:0 202253 
0 0. .0 512.7 
NR HR 
  
  
1 72 q 
00-0155 8 81 
Man hat also hier ein Quadrat, welches aus zwei kleineren, von der Diagonale 
durchschnittenen Quadraten und daneben aus zwei Rechtecken, deren Elemente 
simmtlich gleich Null sind, besteht. 
Bildet man nun die Determinante des ganzen Systems und nimmt aus der- 
selben alle diejenigen Glieder, welche eine und dieselbe Combination der g letzten 
Indices enthalten, in denen also diese Indices nicht permutirt sind, so muss das 
Aggregat dieser Glieder das jener Combination entsprechende Glied der Deter- 
minante BZ als gemeinsamen Faktor enthalten, und nach Absonderung dieses 
Faktors müssen die anderen Faktoren das Aggregat aller Produkte sein, welche 
aus Elementen der übrigen ? Zeilen und Colonnen nach dem Bildungsgesetz der 
Determinanten entstehen kónnen. Dieses Aggregat ist die Determinante 4. Lässt 
man nun die 4 letzten Indices eine Permutation machen und vereinigt wieder 
alle Gheder der ganzen Determinante, welche das so entstehende neue Glied 
von P als gemeinsamen Faktor haben, so muss wieder das Produkt dieses Gliedes 
von B mit der Determinante 4 entstehen. Vereinigt man in dieser Weise nach 
einander alle diejenigen Glieder der ganzen Determinante, welche irgend ein 
Glied von B als Faktor haben, so muss das Aggregat aller dieser Glieder gleich 
dem Produkt 4. 5 sein. Die noch übrigen Glieder der ganzen Determinante, 
welche somit aus mindestens einer der 4 letzten Zeilen oder Colonnen ein Ele- 
ment enthalten, welches nicht dem Systeme von B angehôrt, müssen sümmtlich 
gleich Null sein, und somit ist bewiesen, dass die obige ganze Determinante 
gleich dem Produkt der einzelnen Determinanten A, Z ist. 
Diese Verwandlung des Produktes 4. B in eine einzige Determinante unter- 
Scheidet sich von der früheren dadurch, dass die letzte nicht den gleichen Grad 
mit den einzelnen, bezw. der hóchsten derselben hat, sondern dass der Grad 
derselben gleich der Summe ? 4- 7 der Grade der einzelnen ist. 
Es ist nicht nóthig, die Elemente von A in die p ersten, die von A in die 
4 letzten Reihen zu stellen, man kann vielmehr diese Reihen auch beliebig 
wählen, falls sie nur einander ausschliessen und dann das Vorzeichen der ganzen 
11?