164 Arithmetik und Algebra. 
Determinante nach der Anzahl der Vertauschungen von Reihen bestimmt wird, 
die man vornehmen muss, um die im Vorigen vorausgesetzte Stellung zu bewirken. mé 
5. Werden die Elemente in den erwähnten beiden Rechtecken nicht durch ka 
Nullen ausgefüllt, sondern sind dieselben irgend welche Zahlen, so enthält die ni 
Determinante des ganzen Systems ausser dem Produkte A- B noch weitere Fä 
Glieder, deren Beschaffenheit noch untersucht werden soll. Zur Erleichterung Pr 
der Darstellung führen wir vorher folgende Bezeichnungen ein: so 
Wählt man aus dem System der z? Elemente einer Determinante f beliebige zu 
Zeilen und p beliebige Colonnen in unveränderter Reihenfolge aus, so heisst die be 
Determinante des Systems der in diesen Zeilen und diesen Colonnen zugleich Pe 
stehenden 7? Elemente eine Unterdeterminante oder eine partiale Determinante 
der gegebenen im weitern Sinn. Wählt man ferner die noch übrigen z — ? —4 en 
Zeilen und die noch übrigen 4 Colonnen aus, so erhält man ein zweites partiales uf 
System, welches mit dem vorigen kein Element gemeinschaftlich hat, und dieses 30 
System von 4? Elementen liefert ebenfalls eine Unterdeterminante. Je zwei in sci 
dieser Weise zusammengehôrige Unterdeterminanten werden correspondirende Kl 
genannt. 
Es seien die zur Bildung einer Unterdeterminante ausgewählten Zeilen die 
ate, bte, cte u. s. w., und die ausgewáhlten ? Colonnen die a'te, d'te, c'te u. s. w., 
wobei a< 8<c... und a'< 8'<c'... angenommen werde, so lässt sich die Âr 
ate Zeile dadurch, dass man sie nach einander mit der @ — 1ten, a — ten u. S. W. de 
vertauscht, also im Ganzen durch a — 1 Vertauschungen zur ersten Zeile, darauf Pr 
die bte in gleicher Weise durch à — 2 Vertauschungen zur zweiten, die cte durch | m 
t — 3 Vertauschungen zur dritten Zeile machen u. s. w. Ebenso werden die a'te, Su 
)'te, cte... Colonne durch bezüglich à' — 1, / —2, 6 —3, ... Vertauschungen in 
in die ^ ersten Stellen gebracht. Man kann also durch im Ganzen ko 
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Vertauschungen bewirken, dass die p Zeilen und die ? Colonnen der Unter. v s 
determinante die ersten sind. Berechnet man dann den Werth dieser Unter- 
determinante, so ist zur Bestimmung des ursprünglichen, richtigen Vorzeichens di 
derselben zu unterscheiden, ob jene Anzahl der Vertauschungen oder, was auf di 
dasselbe hinauskommt, ob die Summe di 
a4+b4+c+.. +d +8 ++... Re 
gerad oder ungerad ist; beide Fille lassen sich dahin zusammenfassen, dass jene 
Unterdeterminante der ersten Reihen mit (— 1) «té Herbe ha he te gn multi- : 
pliciren ist. 
Schreibt man aus einer Determinante A alle Glieder heraus, welche irgend 
ein Glied einer Unterdeterminante .4 als Faktor haben, so kónnen in diesen . 
Gliedern keine der Elemente vorkommen, welche mit einem Elemente der Unter- 
determinante in derselben Zeile oder Colonne stehén, die Werthe dieser letzteren 
Elemente sind daher auf das Aggregat der. ausgewählten Glieder von R ohne 
Einfluss, oder dieses Aggregat muss identisch sein mit demjenigen Werthe, welchen 
R erhalten wiirde, wenn die genannten Elemente simmtlich gleich Null wären. ke 
Die vorhergehende Entwicklung lässt also erkennen, dass das genannte Aggregat k: 
gleich dem Produkt der Unterdeterminante 4 mit der correspondirenden Unter- B 
determinante 2 ist, und zwar mit dem Vorzeichen + oder —, je nachdem die m 
Summe der oberen und unteren Indices im Anfangsglied von 44 gerad oder 
E 
ungerad ist.