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11. Elemente der Theorie der Determinanten. 165
Die Auswahl von p Zeilen und von p Colonnen aus dem System der Ele-
mente einer Determinante zten Grades behufs Bildung einer Unterdeterminante
kann auf verschiedene Weisen geschehen, deren Anzahl durch die Anzahl der
móglichen entsprechenden Combinationen angegeben wird. In jedem dieser
Füle erhült man eine correspondirende Unterdeterminante und somit auch ein
Produkt 4- 2 der gedachten Art. Will man aber eine Determinante Æ nach
solchen Produkten ordnen, so ist Sorge zu tragen, dass kein Glied von X, welches
zur Bildung eines dieser Produkte verwendet wurde, bei einem zweiten ebenfalls
benutzt werde. Denken wir uns zu. diesem Zweck die Glieder von Æ durch
Permutation der unteren Indices aus dem Anfangsgliede
3 92:3 À 2
aq ay ag QA. Q,
entwickelt, die Faktoren jedes Gliedes also nach den oberen Indices geordnet,
und sondert man die z unteren Indices in Gruppen zu bezw. z — $ Elementen,
so sieht man, dass die ? Elemente der ersten Gruppe sich auf so viele ver-
schiedene Arten auswählen lassen, als Combinationen von z Elementen zur ten
Klasse ohne Wiederholungen móglich sind, d. h auf
n° (n—1)-(n—32)...(#n—p+1)
1-973 a f
Arten. Jede dieser Gruppen liefert zu dem System der n2 Elemente eine Unter-
determinante ^ten Grades nebst der correspondirenden Unterdeterminante; das
Produkt dieser beiden Unterdeterminanten enthált alle diejenigen Glieder von Æ,
in welchen eine der p! Permutationen der ausgewählten Indices unter sich mit
einer der (z — f)! Permutationen der anderen Indices unter sich verbunden ist;
in dem Aggregat aller dieser Produkte kann kein Glied von A zweimal vor-
kommen, und die Anzahl der in ihm enthaltenen Glieder ist gleich dem Pro-
dukte von $l-(z—f)! mit der obigen Anzahl der Gruppen, d. i. gleich 2! Es
sind also die n! Glieder der Gesammtdeterminante sämmtlich in jenen Produkten
vorhanden, und man hat also den Satz:
Jede Determinante zten Grades kann in eine Summe von (2) Pro-
dukten je einer Unterdeterminante pten Grades und der correspon-
direnden Unterdeterminante » — pten Grades zerlegt werden, wobei
die Vorzeichen der Produkte mittelst der vorher zu diesem Zweck entwickelten
Regel bestimmt werden.
So ist beispielsweise
a, by 64 d, |
dy by Co de a 5, £3 d; a, 0; Co do | a, 6, Co de
yt +
25 &5 Ca da ay bg Ey dr a; by £a (à | a, 5, cs ds
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aq n cs 4 | _|æ % | |‘ d, E by | | ey d, |
ay bg £4 d, a, b, £3 da | 44 b, | E dy |
Die Zerlegung einer Determinante in Produkte von Unterdeterminanten
kann, wie leicht ersichtlich, auf sehr verschiedene Weisen ausgeführt werden, man
kann weiterhin auch jede der Unterdeterminanten wieder als Summe derartiger
Produkte und somit die Gesammtdeterminante als Summe von Produkten von
mehr als je zwei Unterdeterminanten darstellen.
Auf eine eingehendere Behandlung dieses Gegenstandes, wie auf weitere
Entwicklung der Eigenschaften, Gesetze und Anwendungen der Determinanten,
