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Die Grundbegriffe. 169 
von einander angiebt. Eine nur einseitig begrenzte Gerade heisst auch ein 
Strahl, eine nach beiden Richtungen unbegrenzte wird eine Gerade schlechthin 
genannt. Im Folgenden ist daher, wo nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt 
wird, unter einer Geraden stets eine solche von unbegrenzter Ausdehnung nach 
beiden Richtungen zu verstehen. 
8 3. 
Da durch Angabe eines zweiten Punktes als des Zielpunktes zu einem 
beweglich gedachten ersten Punkt die Richtung des letztern bestimmt ist, so 
genügt die Angabe der beiden Punkte in der betreffenden Aufeinanderfolge zur 
Bezeichnung einer Richtung. Wir unterscheiden also die Richtung 45 (d. i. von 
A nach B) von der ihr entgegengesetzten BA. 
Durch einen Punkt und seine unverändert bleibende Richtung ist auch der 
Weg desselben, d. h. die entsprechende Gerade, der Lage nach bestimmt. 
Daher lässt sich durch zwei gegebene Punkte stets eine und nur eine einzige 
Gerade legen, oder durch zwei Punkte einer Geraden ist die Lage derselben 
bestimmt. Die Länge der Geraden dagegen ist abhängig von der Grösse der 
Bewegung des beschreibenden Punktes. Sind jene zwei Punkte auch die End- 
punkte der Geraden, so bestimmen sie die Lage und Länge derselben zugleich. 
Soll bei der Bezeichnung der Linie auch die Richtung angegeben werden, in 
welcher sie beschrieben gedacht wird, so ist die Aufeinanderfolge der beiden 
Punkte, wie oben angegeben, zu berücksichtigen. Mit Hilfe dieser Unterscheidung 
der beiden entgegengesetzten Richtungen AB und BA einer Geraden kann nun 
auch die gerade Linie zur sichtbaren Darstellung einer Richtung benutzt werden. 
Aus dem Vorstehenden ergiebt sich noch, dass zwei gerade Linien, welche 
durch dieselben zwei Punkte gezogen werden, ihrer ganzen Länge nach auf ein- 
ander fallen, oder mit anderen Worten, einander decken. Zwei Gerade, welche 
theilweise auf einander liegen, fallen also ebenfalls ihrer ganzen unendlichen Er- 
streckung nach auf einander. Jeder Theil einer Geraden kann längs derselben 
verschoben gedacht werden, so dass er stets mit einem andern Theil derselben 
in Deckung befindlich ist. 
Von einem jeden Punkte im Raume aus giebt es unendlich viele verschiedene 
Richtungen; durch einen Punkt lassen sich daher auch unendlich viele Gerade 
ziehen. Aendert ein bewegter Punkt fortwährend seine Richtung, ist also seine 
Bewegung in jedem Moment eine fortschreitende und eine drehende zugleich, so 
beschreibt derselbe eine krumme Linie. Eine solche Linie, auch eine Curve 
genannt, ist also in keinem ihrer Theile gerad. Eine Linie; welche aus Geraden 
von verschiedenen Richtungen besteht, heisst eine gebrochene; eine Lime, 
welche aus geraden und krummen zusammengesetzt ist, heisst eine gemischte. 
8 4. 
Wie ein bewegter Punkt eine Linie, so beschreibt eine aus ihrer Lage her- 
austretende Linie eine Flüche. Ist die beschreibende Linie eine Gerade, so 
heisst die Flüche eine geradlinige oder eine Regelflüche. Durch jeden Punkt 
einer solchen lässt sich daher eine Gerade ziehen, welche ihrer ganzen Länge 
nach in die Fläche fällt. 
Denkt man sich zu einer gegebenen Fläche eine zweite, welche vollständig 
mit ihr zusammenfällt, und sodann die eine dieser Flächen so umgewendet, dass 
die entgegengesetzten Flächenseiten beider einander zugekehrt sind, so kann im 
Allgemeinen nicht verlangt werden, dass die beiden Flächen auch in dieser