6 Arithmetik und Algebra. 
dieselbe ist, wie die, in welcher die einzelnen Glieder in dem geschriebenen 
Ausdruck aufeinander folgen. Wo also Klammern fehlen, ist immer die Reihen- 
folge zu wählen, welche zugleich die der Schrift ist. 
Hiernach können z. B. in dem letzten Fall des vorstehend benutzten Zahlenbeispiels alle 
Klammern weggelassen werden. Dagegen ist in dem ersten Fall dieses Beispiels nur die runde 
Klammer, in dem zweiten Fall die erste der. beiden Klammern und in dem dritten die eckige 
wegzulassen. Ebenso ist z. B. 
cn = oq OQ 
5+3—2+#+4—1, 
wie folgt, 'auszurechnen: 5+3=8; 8—2= 6; 6 +4= 10; 10—1=9. Dagegen ist in 
8-4-[b —(8 - D] —84- ( — 4) —9 keine Klammer entbehrlich. — Hers, § 6, No. 1—38. 
Banpzv IT, 46, 47. 
Es entsteht nun die Frage, ob und in welcher Weise sich die Reihenfolge 
bei derartigen Rechnungen verändern lässt, ohne dass eine Aenderung des Resul- c 
tats eintritt Zur Beantwortung derselben untersuchen wir zunächst, welche I 
Aenderung der Werth einer Summe oder Differenz erfáhrt, wenn man ein ein- 
zelnes Glied derselben als veründerlich betrachtet und dasselbe um irgend eine 
Grósse zu- oder abnehmen lásst. Aus den Begriffen der Summe und der Differenz 
ergiebt sich leicht, dass jede Veründerung eines einzelnen Summanden durch 
Addition oder Subtraction einer dritten Zahl die gleiche Veränderung im Werth 
der Summe hervorbringt, und dass dasselbe der Fall ist bei einer Differenz und 
ihrem Minuendus. Wird dagegen eine solche Veränderung am Subtrahendus 
vorgenommen, so erfährt die Differenz die entgegengesetzte Veränderung, d. h. 
ihr Werth wird kleiner, wenn der Subtrahendus grösser wird, und umgekehrt. 
Es folgt dies daraus, dass nach erfolgter Vergrösserung des einen Summanden 
der andere um ebensoviel Einheiten verkleinert werden muss, wenn der Werth 
der Summe unverändert bleiben soll. — Man erhält so vier einzelne Rechnungs- | 
Regeln, welche in folgenden Gleichungen ausgesprochen sind: | 
a+t+b+c=a+C+5ö=4a+(6+<c) . . . . (5) ] 
a+b—c=a—c+b=a+@b—¢) . . . . (6) 
ea—b+c=a+c—b=a—0G—¢) . . . . (M) | 
a—b—c=a—c—b=a—0b+c¢) . . . . (8 
Daher ist auch umgekehrt: 
a+(b+d)0=a+b+e=a+c+b . . . . (9) 
a—(b+co0)=a—b—c=a—c—b . . . . (10) 
a+(b—0)0=a+b—ec=za—e+b . . . . (11) 
a—(b—0)0=a—b+ec=a+ec—b . . . . (12) 
Man kann diese acht Formeln auch, wie folgt, zusammenstellen und in 
Worten aussprechen, sowie auf mehrgliedrige Ausdrücke erweitern: 
1. Sollen mehrere Zahlen nach einander addirt oder subtrahirt 
werden, so kann dies in beliebiger Reihenfolge geschehen. 
9. Statt mehrere Zahlen nach einander zu addiren, kann man ihre 
Summe auf einmal addiren, und statt mehrere Zahlen nach einander 
zu subtrahiren, kann man ihre Summe auf einmal subtrahiren. 
3. Soll eine Zahl 6 addirt und eine andere c subtrahirt werden, so 
kann man statt dessen ? — c addiren oder c — ? subtrahiren. 
4. Statt eine Summe oder eine Differenz zu addiren oder zu sub- 
trahiren, kann man dieselbe Rechnung mit jedem einzelnen Summand 
und mit dem Minuend, dagegen mit dem Subtrahend die entgegen- 
gesetzte vornehmen. 
His, 8 7 und 8 9—12; Banpzv III, IV. 
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