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Addition und Subtraction. 
Mit Hiilfe der vorstehenden Regeln lässt sich nun in jedem zusammen- 
gesetzten Ausdruck der oben erwähnten Art die Reihenfolge der Rechnungen so 
gestalten, dass nach dem getroffenen Uebereinkommen alle Klammern wegge- 
lassen werden können. Man nennt dies das Auflösen der Klammern. Eis, 
S 6, 1—8 
So erhält man z. B. aus dem oben gebrauchten Ausdruck 
8 + [5 — (3 + 1)] zunächst nach Gleichung (11): 
8 + 5 — (8 + 1) und sodann nach (10): 8+5—83—L. 
8 4. Negative Zahlen. 
Die Addition einer Zahl zu einer anderen ist stets möglich, welche Werthe 
die beiden Summanden auch haben mögen, da die Zahlenreihe bis in’s Unend- 
liche fortschreitet. So lange man bei der Differenz c— a voraussetzt, dass die- 
selbe aus einer wirklich ausgeführten Additions-Aufgabe durch Umkehrung der- 
selben hervorgegangen sei, muss auch die Subtraction stets zu einem und, wie 
leicht zu ersehen, nur einem einzigen Resultat aus der natürlichen Zahlenreihe 
zurückführen. Setzt man dagegen für c und a willkürlich bestimmte Zahlen- 
werthe, so fragt es sich, ob die Aufgabe, c — a zu berechnen, nothwendig eine 
Auflósung haben müsse. Man findet nun leicht, dass hier die drei Fálle zu unter- 
scheiden sind, in welchen c grösser, ebenso gross oder kleiner als a ist, und 
dass nur in dem ersten Fall die Auflösung in dem bisherigen Sinne möglich ist. 
Die beiden anderen Fälle führen jedoch auf eine Erweiterung des Zahlen- 
begriffs, durch welche sie ebenfalls eine Bedeutung erhalten. 
Ist c — a, so werden, wenn man von c aus um 4 Einheiten rückwärts zählt, 
sämmtliche vorhandene Einheiten weggenommen, sodass auch nicht eine derselben 
übrig bleibt. Man bezeichnet dieses Resultat durch 0 (Null). Die Null ist hier- 
nach nicht etwa ein inhaltsleerer Begriff oder eine Bezeichnung für Nichts, sondern 
dieselbe enthält noch die Bezugnahme auf die Einheit, welche der betreffenden 
Rechnung zu Grunde liegt, indem sie das Dasein einer solchen verneint. Sie 
schliesst sich daher der natürlichen Zahlenreihe vor der 1 an. 
Ist ferner c< a, und zählt man von c aus rückwärts, so bleiben, nachdem 
sämmtliche vorhandene Einheiten weggenommen sind, noch soviele Einheiten 
zum weiteren Rückwärtszählen übrig, als @ mehr enthält, wie c, d. h. « — c. Um 
ein solches weiteres Rückwärtszählen möglich zu machen, müsste die Reihe der 
natürlichen Zahlen noch über die Null hinaus erweitert werden, es müssten sich 
also Zahlen angeben lassen, welche noch kleiner als Null wären. Dass dies nun 
in der That denkbar ist, soll zunächst durch ein Beispiel erläutert werden: 
Geht Jemand um ¢ Schritte in einer bestimmten Richtung vorwärts und 
darauf wieder um a Schritte rückwärts, so ist er im Ganzen um € — 4 Schritte in 
jener Richtung nach vorwärts gelangt. Hierbei ist zunächst c > « gedacht. Ist 
c— a, so gelangt er auf seinen Ausgangspunkt zurück, und es ist c—a=a—a 
— 0 zu setzen. Ist aber c << @, so kommt er nach einem Orte, welcher von dem 
Anfangspunkte aus nach der entgegengesetzten Richtung liegt, und zwar 
ist er dann um @ — ¢ Schritte nach derselben vom Anfangspunkte entfernt. 
Allgemeiner kann man sich die natürliche Zahlenreihe unter dem Bilde einer 
Reihe von Punkten vorstellen, welche von einem mit 0 bezeichneten Anfangs- 
punkt aus nach derselben Richtung, also in gerader Linie, so liegen, dass je 
zwei benachbarte von einander gleich weit entfernt sind. Die einzelnen Zahlen 
geben dann die Abstände der Punkte vom Anfangspunkt an. Man sieht nun