262 Planimetrie. 
stehenden Aufgaben für die subtractiven Glieder an, so kann auch jede vorge- 
schriebene algebraische Summe gegebener Quadrate durch ein ihr gleiches 
Quadrat dargestellt werden. | 
Denken wir uns ferner die einzelnen Quadrate, deren Summe verlangt ist, | 
gleich gross, so erhält man ohne Weiteres aus den vorstehenden Aufgaben die | 
Auflösung der folgenden: 
Ein Quadrat zu zeichnen, welches doppelt so gross als ein gegebenes Quadrat 
ist. — Man findet hier insbesondere, dass die Diagonale des gegebenen gleich | 
der Seite des gesuchten ist. 
Ein Quadrat zu zeichnen, welches dreimal, oder fünfmal so gross als ein 
ml gegebenes Quadrat oder allgemein ein verlangtes Vielfaches des letzteren ist. | 
Hierbei beachte man, dass ein Quadrat, welches 4, 9,..%?mal so gross als 
ein gegebenes ist, am kürzesten dadurch gefunden wird, dass man seine Seite 2, 
3,...mmal so gross als die des gegebenen macht. Man wird daher auch um 
z. B. ein Quadrat zu zeichnen, welches 17 mal so gross ist als ein anderes, am 
kürzesten zunächst ein solches construiren, welches eine viermal so lange Seite 
hat als das letztere und dann ein solches, welches gleich der Summe dieses eben 
construirten und des gegebenen ist. Soll das gesuchte ferner beispielsweise 
26mal so gross sein als das gegebene, so zeigt die Gleichung 26 — 25 -- 1 den | 
kürzesten Weg; für ein 19mal so grosses kann man ebenso sich der Gleichungen | | 
19 = 16 + 3 = 25 — 6 = 16 + 4— 1 u. dgl. m. bedienen. ( 
Durch Umkehrung ergiebt sich ferner die Construction eines Quadrates, | 
welches einem bestimmten aliquoten Theile des gegebenen gleich ist. So erhält 1 
man ein Quadrat, welches halb so gross ist als ein gegebenes, indem man die | 
Seite des letzteren zur Diagonale des ersteren annimmt. Die einfachste allgemeine 
Auflósung der Aufgabe, ein Quadrat zu zeichnen, welches gleich dem zten Theile 
eines gegebenen ist, erhält man dadurch, dass man ein Rechteck, dessen eine 
Seite gleich der Seite des gegebenen Quadrats, und dessen andere Seite gleich 
dem ten Theile der ersteren ist, in ein gleiches Quadrat verwandelt. | 
Dass man auch jedes Quadrat in ein Rechteck mit einer gegebenen Seite | 
verwandeln kann, indem man die Quadratseite zur Kathete und die gegebene ; 
Rechteckseite, je nachdem sie grösser oder kleiner als die Quadratseite ist, zur | 
| 
  
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*- ^ Am M OA ah ? 
  
  
  
Hypotenuse oder zur Projection jener Kathete auf die Hypotenuse eines recht- 
winkeligen Dreiecks nimmt, ergiebt sich ebenfalls leicht aus dem betreffenden 
früheren Lehrsatze. 
Endlich mag erwähnt werden, dass die Möglichkeit der Verwandlung eines 
jeden Polygons in ein Quadrat nun auch durch vorstehende Aufgaben die Dar- 
i stellung von Summen, Differenzen, Vielfachen und aliquoten Theilen beliebiger 
i Polygone in Form der Flächen von Quadraten oder Rechtecken ermôglicht. 
  
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8 46. Theilungs-Aufgaben. 
1. Den Verwandlungs-Aufgaben des vorigen Paragraphen schliessen sich 
naturgemáüss die Theilungs-Aufgaben für Polygone an. Dieselben verlangen, 
dass durch eine oder mehrere Linien, für welche besondere Bedingungen gestellt 
sein kónnen, ein oder mehrere Theil-Figuren abgeschnitten werden sollen, deren 
Flücheninhalte zu demjenigen der gegebenen Figur in vorgeschriebenen Verhált- 
nissen stehen. Für das einfachste Verhältniss der Theile, das der Gleichheit, hat 
man dann also die Aufgabe, die gegebene Figur in eine bestimmte Anzahl 
gleicher Theile zu theilen.