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5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 289 
bogen, also durch ein gemeinschaftliches Maass getheilt sein. Somit ist das 
Verhältniss der Längen der beiden ganzen Kreisbogen, d. i. das Verhältniss 
m:n ihrer Maasszahlen gleich dem Verhältniss der zu ihnen gehörigen Centri- 
winkel. Auch wenn letztere kein gemeinschaftliches Maass haben, gelangt man 
durch ein entsprechendes Verfahren wie früher in analogen Fällen dahin, dass 
das Verhältniss der Kreisbogen ebenso wie das der Centriwinkel sich zwischen 
für beide Verhältnisse übereinstimmende Grenzen bringen lässt, die man einander 
so weit genähert denken kann, dass ihr Unterschied kleiner ist als jede angeb- 
bare kleine Zahl. Man ist daher auch hier berechtigt, die Werthe der beiden 
Verhältnisse als einander gleiche Irrationalzahlen zu betrachten. Somit gilt all- 
gemein der Satz: 
Centriwinkel desselben Kreises oder gleicher Kreise verhalten 
sich zu einander wie die zugehörigen Kreisbogen. (1) 
3. Hieraus folgt, dass das Verhültniss zweier Kreisbogen sich nicht ándert, 
wenn auch der Radius des Kreises grósser oder kleiner wird, falls nur die zuge- 
hórigen Centriwinkel dieselben Gróssen behalten. Das Verháltniss zweier Centri- 
winkel kann also stets durch dasjenige der zugehórigen Bogen ersetzt werden 
und umgekehrt und ist dabei unabhángig von der Länge des Radius, welche nur 
die absoluten Längen der beiden Kreisbogen, dagegen nicht das Verhältniss der- 
selben zu einander beeinflussen kann. 
Da nun die Maasszahl einer Grösse nichts anderes ist, als der Werth des 
Verhältnisses derselben zu einer als Maass dienenden gleichartigen Grosse, so 
können die Messungen von Winkeln durch diejenigen von Kreisbogen ausgeführt 
werden und umgekehrt. Als Maass für eine derartige Messung ist bei den Kreis- 
bogen der zum rechten Centriwinkel gehörige Bogen desselben Kreises, welcher 
den Namen Quadrant erhalten hat, bezw. die durch Theilung desselben in 
90 gleiche Theile u. s. w. entstehenden kleineren Bogen zu wühlen. Die ganze 
Kreislinie wird hiernach in 360 gleiche Theile getheilt gedacht. Jeder solche 
Theil erhält auch hier den Namen Grad, insbesondere Bogengrad zum Unter- 
schied von Winkelgrad, und kann entsprechend wie dieser in 60 Bogenminuten 
und 60-60 Bogensecunden getheilt gedacht werden. 
Die so gewonnenen Maasse für Kreisbogen sind für verschiedene Kreise 
verschieden. Jeder Kreisbogen wird hiernach durch einen anderen Bogen des- 
selben oder eines gleichen Kreises gemessen; für jeden verschiedenen Radius ist 
daher die Maasseinheit der Bogen besonders zu bestimmen, und es kónnen auf 
diese Weise nicht Kreisbógen verschiedener Radien mit einander verglichen 
werden. Die so gewonnenen Maasszahlen von Kreisbogen geben, mit anderen 
Worten gesagt, nicht die absoluten Längen derselben (z. B. in Beziehung auf das 
auch für Strecken dienende Maass), sondern nur die Verhältnisse derselben zur 
Länge eines bestimmten Bogens desselben Kreises an. 
Die Gleichmässigkeit in der vorstehend angegebenen Theilung des Kreises 
und derjenigen der Winkel führt, da jeder Centriwinkel sich zum Winkelgrad, 
wie der zugehörige Bogen zum Bogengrad verhalten muss, zu dem Satze: 
Jeder Bogen eines Kreises hat dieselbe Maasszahlin Bogenmaass, 
wie sein Centriwinkel in Winkelmaass, (2) 
und es kann somit die Zahl der Winkel-Grade, -Minuten und -Secunden eines 
jeden Winkels ohne Weiteres durch die der Bogen-Grade u. s. w. eines zuge- 
hörigen Kreisbogens ersetzt werden, und umgekehrt. 
Daher bedient man sich in der Praxis zum Messen und Auftragen von 
ScuLokMiLcH, Handbuch der Mathematik. Bd. 1. I9