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5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 201 
Soll nämlich der Bogen AB der zehnte Theil des Kreises, also der zugehörige 
Centriwinkel 4C. gleich 36° sein, so erhält man durch Ziehen der Sehne AB 
ein gleichschenkeliges Dreieck, in welchem jeder der Winkel an der Grundlinie 
AB gleich 4 (180° — 36°) = 72°, also doppelt so gross 
als der Winkel an der Spitze ist. Halbirt man also den C 
Winkel CAB, so ist, wenn D den Durchschnittspunkt der 
Halbirungslinie mit CB bezeichnet, 
£L CAD= ZL ACD, also AD=CD. 
Ebenso ist £ DAB = CAD = 36° und da £ CBA 
— 79° ist, auch £ ADB gleich 72°, mithin AD = AB. 
Daher ist schliesslich auch 48 = CD. Die Halbirungslinie M 
AD muss aber die gegenüberliegende Seite im Verháltniss — 4 
der anliegenden theilen, es ist also 
AC BuCD:DB, 
und mithin auch CP: CD= CD: DE 
d. h. CB ist in D nach dem goldenen Schnitt getheilt, und A B ist dem grôssern 
Abschnitt CD gleich. — Auch umgekehrt ergiebt sich, wenn CB : CD = CD:DR 
und AB = CD vorausgesetzt und AD gezogen wird, dass auch 
AC: AB=A4B: DD 
sein muss. Da hiernach die Dreiecke ACB und BAD in einem Seitenver- 
hältniss übereinstimmen, und da sie ausserdem den eingeschlossenen Winkel 5 
gemeinsam haben, so sind diese Dreiecke ähnlich. Deshalb muss auch BAD 
gleichschenkelig, also 48 — 4D — CD, und daher Z DCA= L CAD sein. 
Bezeichnen wir der Kürze halber den Winkel DCA durch a, so ist auch jeder 
der Winkel 242, DAC gleich «, mithin CA —2a, also CBA ebenfalls 
gleich 2a, und die Summe der Winkel des Dreiecks ACB gleich da. Aus 
5a = 180° folgt a = 36°, was zu beweisen war. 
  
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718. 
94 — 60 — 36 ist, so hat man zu diesem Zweck nur die Differenz eines Sechs- 
tels und eines Zehntels der Peripherie zu zeichnen. 
3. Aus den vorstehend angegebenen Theilungen des Kreises ergeben sich 
andere einerseits durch Zusammenfassen mehrerer gleicher Theile in einen, 
andererseits durch wiederholtes Halbiren der bereits vorhandenen Theile. Durch 
paarweises Zusammenfassen aneinder liegender Theile erhält man aus der Theilung 
in sechs diejenige in drei und aus der Theilung in zehn diejenige in fünf gleiche 
Theile. Durch Halbiren simmtlicher Theile ergiebt sich aus der Theilung in 
vier gleiche Theile die in acht, dann aus dieser die in sechzehn gleiche Theile, 
u. s. w. In gleicher Weise gelangt man von %= 6 auf n= 12, 94 u. 5 W, 
von 2 — 10 auf #n= 20, 40 u. s. w. und von z— 15 auf n= 30, 60 u. s. w. 
Allgemein ist man also mit Hülfe der obigen Theilungen im Stande, einen jeden 
ganzen Kreis in 2-27, 3-27, 5-27 und 15 27 gleiche Theile (für jeden ganzen 
Werth von z, einschliesslich der Null) zu theilen. 
Auf diese Theilungen des Kreises beschränkte sich die Geometrie der 
Alten. Erst C. F. Gauss zeigte in seinen disquisitiones arithmeticae 1796, dass 
ausserdem die Theilung in alle diejenigen Anzahlen auf elementarem Wege 
móglich sei, welche in der Formel 27 -- 1 enthalten sind, wenn dieselbe zugleich 
eine Primzahl angiebt, also für 17, 957 u. s. w. Derselbe erweiterte also die 
obigen vier Reihen von Theilungen der alten Geometer um eine unendlich 
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Für z— 15 hat man Centriwinkel von — 94? zu construiren. Da nun 
  
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