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5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 293
der eine oder der andere der beiden Radien gefunden werden, so kann man
sich der Aehnlichkeit aller regelmässigen Polygone von derselben Seitenzahl
bedienen, indem man zuerst in oder um einen mit beliebigem Radius construirten
Kreis nach der vorhergehenden Anleitung ein entsprechendes Polygon und dann
zu diesem über der gegebenen Seite ein ähnliches zeichnet. Dieses Verfahren
gestattet übrigens wesentliche Abänderungen und Vereinfachungen, welche sich
leicht ergeben. So genügt es zunächst zu einem beliebig gewählten Radius nur
eines der durch eine Seite und zwei Radien des einbeschriebenen z-Ecks be-
grenzten gleichschenkeligen Dreiecke und dann mittelst der gleichen Winkel zu
letzterem ein ähnliches Dreieck über der gegebenen Seite zu zeichnen. Die
Spitze des letzteren ist der Mittelpunkt, sein Schenkel der Radius des dem
gesuchten Polygon umbeschriebenen Kreises, welchem dann durch wiederholtes
Eintragen der Seite als Sehne dieses Polygon einbeschrieben werden kann. Ist
die Seite des verlangten z-Ecks nur der Länge und nicht auch der Lage nach
gegeben, so kann man das Verfahren in leicht ersichtlicher Weise noch weiter
vereinfachen.
3. Insbesondere lassen sich ferner folgende Aufgaben ohne Weiteres lósen:
Zu einem gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen z-Eck
ein demselben Kreise einbeschriebenes regelmüssiges 27-Eck zu zeichnen. Man
hat hierzu nur jeden der Bogen des Kreises, welche zwischen aufeinanderfolgen-
den Eckpunkten des z-Ecks liegen, zu halbiren und jeden der Halbirungspunkte
mit den beiden benachbarten Eckpunkten des z-Ecks zu verbinden. Die beiden
Polygone liegen dann so zu einander, dass die grossen Radien des 27-Ecks zur
Hälfte mit den grossen Radien des z-Ecks zusammenfallen, zur anderen Hälfte
auf den Seiten des letzteren senkrecht stehen, sie halbiren und die kleinen Ra-
dien des z-Ecks als Theile in sich enthalten.
Umgekehrt kann man durch Verbinden der abwechselnden Eckpunkte eines
gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen 2x-Ecks ein demselben
Kreise einbeschriebenes regelmässiges z-Eck zeichnen.
Zu jedem gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen z-Eck
erhält man ferner ein demselben Kreise umbeschriebenes regelmässiges z-Eck,
wenn man durch die Eckpunkte des ersteren die Tangenten an den Kreis zieht.
Die beiden Polygone liegen dann so zu einander, dass die Eckpunkte des ein-
beschriebenen die Seiten des umbeschriebenen halbiren, die grossen Radien des
ersteren also die kleinen Radien des letzteren sind. Halbirt man dagegen die
durch die Eckpunkte der einbeschriebenen Figur bestimmten Bogen und zieht
durch die Halbirungspunkte die Tangenten, so muss, da diese Halbirungspunkte
unter sich ebenfalls den Kreis in z gleiche Theile theilen, wieder ein umbe-
2M OS
schriebenes regelmässiges z-Eck entstehen, aber das-
selbe hat gegen das einbeschriebene eine andere Lage
als vorher. Diese Construction ist deshalb bemerkens-
werth, weil jetzt je zwei homologe Seiten der beiden
Figuren, weil zu derselben Geraden senkrecht, einander
parallel sind. Die kleinen Radien derselben fallen also
paarweise in dieselben Linien, und da die Winkel X M
AMB, A'MB der Bestimmungsdreiecke in beiden M
n-Ecken gleich gross sind, so müssen auch je zwei grosse NS s
Radien MA, MA' in dieselbe Gerade fallen, oder je
zwei homologe Eckpunkte liegen mit dem Mittelpunkte des Kreises in gerader Linie,