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Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 345 
tenuse. Dies geht daraus hervor, dass allgemein, wenn man M mit 4 und 5 
verbindet, der Winkel 47 als Centriwinkel doppelt so gross ist als der Drei- 
eckswinkel A4 C P. 
Bezeichnet man in üblicher Weise die Winkel an 4, P, C bezüglich durch 
a, Q, 1 und die ihnen gegenüberliegenden Seiten bezüglich durch a, à, e, so ist 
also £ AMB=2y, L AMC=28, / BMC -—929a, daher Z B MC —u.Ss. W. 
Ferner ist 2 MBC =P —1=3 Lu +3+7) — 1=1% (a + 8 — 7) und ebenso 
L MCB = £ MAB =14 (a—B+7) und £L MBA' = 7 MCA =3% B+ 1— 2) 
Die Berechnung des Radius 7 aus den drei Seiten a, 6, c ist bereits in S 49 
gezeigt worden. 
Da die durch J£ senkrecht zu 47 gelegte Gerade die Sehne BA und mit- 
hin auch den zugehórigen Bogen, dessen Peripheriewinkel A CB ist, halbirt, so 
folgt, dass jede winkelhalbirende Transversale eines Dreiecks und 
die zu der gegenüberliegenden Seite gehórige Mittelsenkrechte einan- 
der in einem Punkte des umbeschriebenen Kreises treffen. 
Verbindet man diesen Durchschnittspunkt 4 
der Halbirungslinie des Winkels C und der Mittel- fr 
senkrechten von AB mit einem anliegenden Eck- Re TN N 
punkt 4, so ist der Peripheriewinkel BAZ £u NWN x 
— BCF= 414. Ist ferner O der Mittelpunkt des | / a "TS E. \ 
dem Dreieck A BC einbeschriebenen Kreises, also N \ 
A0 die Halbirungslinie des Winkels o, so ist dem- | / \ 
nach Z OAF = 4 (a + 7). Da nun Z FO4A 5 (— | 
— Z OCA -- Z OAC — 4 (a 7) und demnach = \ | 
L'OAF= L FO A ist, so folgt OF= FA, d. h. nN | 
die Verbindungslinie jenes Durchschnitts- 7 
punktes / mit einem anliegenden Eck- 
punkt ist gleich dem Abstand desselben Punktes von dem Durch- 
schnittspunkt O der drei Winkelhalbirenden. 
Zieht man durch Z den Durchmesser Z//G des umbeschriebenen Kreises, ver- 
bindet G mit 4 und füllt von O die Senkrechte O 7 auf AC, so sind die Peripherie- 
winkel AGF und ACF einander gleich, mithin die rechtwinkeligen Dreiecke 
AGF und CO H ähnlich. Daher ist 
CO: OL = FC: AF oder CO d P QUT. PG, 
oder da 4.F — OF ist, und wenn man für den Radius O H des einbeschriebenen 
Kreises p und für den Durchmesser ZG des umbeschriebenen Kreises 2 7 ein- 
setzt, 
  
CO.O0OF zr. 
Da ferner das Product der Abschnitte jeder anderen durch O gehenden 
Sehne des umbeschriebenen Kreises gleich CO. OZ sein muss, so hat man den 
Satz: Jede durch den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises gehende Sehne 
des umbeschriebenen Kreises eines Dreiecks wird in diesem Punkte so getheilt, 
dass das Rechteck aus den Abschnitten gleich dem doppelten Rechteck aus den 
Radien der beiden Kreise ist, oder kürzer: Die Potenz des Mittelpunktes 
des inneren Berührungskreises eines Dreiecks in Beziehung auf den 
umbeschriebenen Kreis ist gleich dem doppelten Rechteck aus den 
beiden Radien. 
Wendet man diesen Satz auf den durch O gehenden Durchmesser des 
Kreises M an, und bezeichnet Z den Abstand der beiden Mittelpunkte M und O,