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346 Planimetrie. 
so sind die betreffenden Abschnitte gleich » + d und » — 4, und aus 
(r +d) (r —d) = rp folgt 
dix y?— 9yo. 
Durch eine üáhnliche Entwicklung in Beziehung auf einen áusseren Berührungs- 
kreis O, erhält man für die Entfernung 4, des Mittelpunktes des letzteren von 
M die Gleichung 
d? =r? 4 27p . 
3. Es seien AA; 55,, CC, die drei Höhen eines Dreiecks A6C und A 
ihr gemeinschaftlicher Durchschnittspunkt. Da die 
Winkel 4.4'7 und BBA rechte sind, so folgt 
ohne Weiteres, dass jeder iiber einer Seite 
eines Dreiecks als Durchmesser beschrie- 
bene Kreis durch die Fusspunkte der zu 
den anderen Seiten senkrechten Höhen 
geht. 
Für die einander in 77 schneidenden Sehnen 
BB, AA und ebenso für die einander in C 
schneidenden BA', A B' ergiebt sich hieraus 
BH HEB =A HA" (eC. HC) und 
CH -CB=ChB CA oder CA: CB=CA 6H 
d. h. die Rechtecke aus den beiden Ab- 
schnitten je einer Hohe eines Dreiecks 
sind einander gleich, und je zwei Seiten 
EN eines Dreiecks verhalten sich zu einander 
Bi > umgekehrtwie ihre dem gemeinschaftlichen 
Eckpunkt anliegenden Abschnitte. 
Beriicksichtigt man, dass durch die drei Hóhen drei neue Dreiecke 4 B, 
AHC, BHC entstehen, derart dass beispielsweise für ZAC die Seitenabschnitte 
CB', BC' Hóhen, also jedesmal der dritte Eckpunkt des ursprünglichen Dreiecks 
der Durchschnittspunkt der drei Hóhen des neuen ist, so sieht man, dass die 
beiden vorstehenden Sätze in einen einzigen zusammenfallen. Auch sind dieselben 
identisch mit den bereits früher (8 44,2), auf anderem Wege bewiesenen Satze, 
dass die Rechtecke aus je einer von zwei Seiten eines Dreiecks und der Pro- 
jection der anderen auf dieselbe einander gleich sind. 
Die obige Figur enthält ferner drei Gruppen von je vier einander ähnlichen 
Dreiecken, wie leicht durch die Uebereinstimmung in den betreffenden Winkeln 
bewiesen werden kann. Es ist nämlich 1. A 4B B' e» A ACC' ee A CH B' eo 
A BHC'; 2. A BCC'œ A BAA'co A AHC os NA CHA; 3.4A CAA' co ACBB'oo 
ABHA « A AHB!'. Auch mit Hülfe der Aehnlichkeit dieser Dreiecke lassen 
sich die vorstehenden Sätze unmittelbar beweisen. 
Man erhält in entsprechender Weise mittelst der durch je vier Punkte, wie 
z. B. C, A', H, B', gehenden Kreise oder durch die angeführten Aehnlichkeiten 
denselben Satz in der anderen Form 
BAL -BC=BH BF, 
d. h. das Rechteck aus je einer Seite und einem ihrer Abschnitte ist 
gleich dem Rechteck aus der mit diesem Abschnitt zusammenstossen- 
den Hohe zu einer anderen Seite und dem oberen Abschnitt dieser 
Hohe. 
Durch die Aehnlichkeit vorher angegebener Dreieckspaare oder durch Gleich- 
  
  
   
  
  
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