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348 Planimetrie. 
=2R—2(0CB+OBC)=3R—2-(08 +1) = 2R—(8+ 7) = Aus der 
Gleichheit der Winkel BGO und BAC folgt aber, dass der dem " .e'«ck ABC 
umbeschriebene Kreis auch durch G, und ebenso gilt dass er auch durch die 
Halbirungspunkte von OO, und OO; gehen muss. — Der Punkt G ist also der- 
selbe, in welchem die Winkelhalbirende von C und die Mittelsenkrechte von 4 
einander treffen. 
In gleicher Weise muss der über O,O0; als Durchmesser beschriebene Kreis 
durch die Scheitel 4, 7 der rechten Winkel O, P2 0;, 0,40; gehen, und demnach 
der Halbirungspunkt 77 von O40, gleichweit von 2 und O, entfernt sein. Im 
gleichschenkeligen Dreieck O,HB ist also L O,HB=92R —2 HO,B. Es ist 
aber £ H0,8=IR — COB = OBC + £ OCB=4(8 +7), mithin £ O, ZB 
—2 R—(8--1)—2. Daher ist CZZ Peripheriewinkel des durch 5, C und 4 gehenden 
Kreises oder der dem Dreieck ABC umbeschriebene Kreis geht auch durch Z, 
und ebenso gilt, dass er auch durch die Halbirungspunkte von O,0. und 0;0, 
gehen muss. 
Der einem Dreieck umbeschriebene Kreis geht also durch die 
Halbirungspunkte der sechs Verbindungstrecken der Mittelpunkte der 
vier Berührungskreise dieses Dreiecks. 
Betrachten wir wieder eins der Dreiecke O,0;0,, OO,O; u. s. w. als das 
Urdreieck, ABC also als das Fusspunktendreieck desselben, so erhált der vor- 
stehende Satz die Form: 
Der um ein Fusspunktendreieck beschriebene Kreis geht durch 
die Halbirungspunkte der Seiten der zu jenem gehórigen vier Urdrei- 
ecke oder, was dasselbe ist, er halbirt die Seiten und die oberen Hohenab- 
Schnitte eines jeden einzelnen solchen Urdreiecks. 
Der genannte Kreis geht also im Ganzen durch neun bestimmte Punkte. 
Daher heisst er der Kreis der neun Punkte. Eine andere Benennung des- 
selben ist FEUERBACH'scher Kreis. 
4. Verlángert man die Hóhen eines spitzwinkeligen Dreiecks über 
ihre Fusspunkte bis zum umbeschrie- 
benen Kreise, so ist jede solche Ver- 
láàngerung. gleich dem unteren Ab- 
schnitt der zugehórigen Hóhe, denn ist 
C'D diese Verlängerung der Hóhe CC', und 
zieht man BD, so ist L DBA=— Z DCA 
90° — a = £ ABB, daher \ BCD 
BCH und also CD = HC. 
Daher muss auch umgekehrt, wenn man 
eine Höhe über ihren Fusspunkt um ihren 
unteren Abschnitt verlängert, der Endpunkt 
der Verlängerung auf dem umbeschriebenen 
Kreise liegen. 
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Fir stumpfwinkelige und rechtwinkelige Dreiecke gilt im Wesentlichen der- 
selbe Satz und Beweis; auch hier halbirt der Fusspunkt jeder Hohe den Abstand 
des Durchschnittspunktes derselben mit dem umbeschriebenen Kreis von ihrem 
Durchschnittspunkt mit den anderen Hóhen. 
Verbindet man die Endpunkte D, Æ, F der genannten Verlüngerungen mit 
einander, so folgt daraus, dass Z FDC= L FAC = 909 — y und Z CDE — z EBC 
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
    
   
   
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