350 Planimetrie. 
Auch aus der Figur Seite 347 lässt sich leicht ableiten, dass, da BG = G4 
und BH = HA ist, GH als zur Seite 4B senkrechte Gerade ein Durchmesser 
des dem dortigen Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises sein muss, u. Ss. W. 
Aus 4 P? — Le? — AM? — MP? = AM? — }CH? folgt endlich der Satz: 
Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Differenz 
aus dem Quadrat des Durchmessers des umbeschriebenen Kreises 
und dem Quadrat des oberen Abschnitts der zu der Seite gehórigen 
Hóhe. 
5. Zieht man im Dreieck ABC eine Hôhe CC', fällt vom Mittelpunkte M 
des umbeschriebenen Kreises die Senkrechte 
MP auf die zu der Hôhe gehôrige Seite, ver- 
bindet C mit dem Halbirungspunkt .P? dieser 
Seite 4 P und zieht die Verbindungslinie von M 
und dem Durchnittspunkt 77 der Hóhen, welche 
CP in einem Punkte ,S schneiden muss, so ist, 
da MP parallel au CH ist, CS: SP CIT. MP 
Nun ist vorher gezeigt worden, dass MP=+4CH 
ist, daher ist auch. CS: P8 9:1. Der Punls 
S ist hiernach der Schwerpunkt des Dreiecks 
ABC. Umgekehrt folgt hieraus der Satz: 
Der Durchschnittspunkt der Höhen, der Mittelpunkt des umbe- 
schriebenen Kreises und .der Schwerpunkt eines jeden Dreiecks 
liegen in gerader Linie, und es theilt der Schwerpunkt den Abstand 
der beiden anderen Punkte im Verhältniss 2:1, so dass der grössere 
Abschnitt dem Durchschnittspunkt der Hóhen anliegt. (EurrR'scher Satz.) 
Die drei Punkte M, S, Z stehen also in solcher Beziehung zu einander, 
dass durch die Lage je zweier derselben der dritte bestimmt ist. 
Ueber den Schwerpunkt eines Dreiecks móge als besonders bemerkenswerth 
noch der folgende Satz hier eine Stelle finden: 
Zieht man durch die drei Eckpunkte 4, 2, C und durch den Schwerpunkt 
S eines Dreiecks unter sich parallele Gerade bis zu einer ausserhalb des Dreiecks 
liegenden Geraden, so ist die von S ausgehende gleich dem arithmetischen 
Mittel (d. i. dem dritten Theile der Summe) der drei anderen. — Zum Beweise 
ziehe man ausser den angegebenen Parallelen 44,, BB,, CC, und SS, noch 
die zugehôrige Parallele DD, durch den Halbirungspunkt D einer Seite 4C, 
dann erhält man, wenn man noch durch B die Parallele zu B,D, bis zum 
Durchschnitt mit OD, zieht, leicht 
SS,— BB, BS 2 
BD BD DDR 
355, —3BB, =2DD, —2BB, oder 3SS, =2DD, + B5,. 
Da aber DD, die Mittellinie des Trapezes ACC, A, ist, so hat man 2D D, 
= AA, + CC, und substituirt man dies in die vorige Gleichung, so ergiebt sich 
die Richtigkeit der Behauptung. 
Schneidet die Gerade 4,B, das Dreieck ABC, so liegt entweder einer der 
Eckpunkte, oder es liegen zwei derselben mit S auf verschiedenen Seiten der 
Geraden, die von ihnen aus gezogenen Parallelen laufen daher nach entgegenge- 
setzter Richtung mit der von ,S aus gezogenen. Man überzeugt sich leicht, indem 
man zu der Geraden 4,B, irgend eine Parallele ausserhalb des Dreiecks zieht, 
mit Anwendung der vorher bewiesenen Behauptung und des Abstandes der beiden 
  
P €; 
also