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352 Planimetrie. 
anbeschriebenen äusseren Berührungskreise auf den Verlängerungen von BC, 
so ist 
BA, = CA,—s; BA, =CA, =s—a; A, A; = 434, =0; Ad, = Az 43 =c 
und A,4, = c + b, entsprechend 4,4, — c — . 
Zieht man die Berührungsradien O C,, O,C, und die Winkelhalbirende 4 O O,, 
sowie die Parallele durch O zu C,C, bis zu O,C,, so ist 
OO —(0,C, — OC)? -- CC = (pa — p)? + a3. 
Zieht man die Radien 0,4, und O4, und durch O die Parallele zu BC bis 
zur Verlängerung von O,4,, so erhält man 
02 — (0,4, 4- A,OY! 4- A43 — (pa ^ )* -- (c — 0? 
Daher ist auch (p,— p)? 4- a? = (pa -- p)? -- (c — £)?, woraus man durch 
Entwicklung 
4ppa = à? — (c — 5) ? e (a 4- 6 —c) - (a— 6 4- c) 25 — 6) 2(s— 0), 
also p-pa=(s—0)-(s—<c) (1) 
erhält. Dieselbe Beziehung folgt als Proportion p,: (s —¢) = (s — 6): p ohne 
Weiteres aus der Aehnlichkeit der Dreiecke O,C,B und OC, 5. 
Aus dem Dreieck O,C,A mit der zu O2C, parallelen Transversale OC, 
erhält man 
Q0: 0C, 5s dC: dC, oder 0,:079 5:(85 — 0), Oder 
es pa ($-- a) e ga ($— 0) — e G— 0» (3) 
eine bereits bekannte Gieichung, deren Seiten den Flächeninhait des Dreiecks 
ausd:ücken. 
Aus den Gleichungen (1) und (2) erhält man durch Auflösung auf p und 
pa die Werthe dieser Radien in Uebereinstimmung mit 8 48 durch die drei Seiten 
ausgedrückt und dann mittelst derselben aus ps == F wieder den bereits eben 
daselbst gefundenen Ausdruck für den Flácheninhalt des Dreiecks. 
Die vorstehenden Entwicklungen, welche sich noch weiter vermehren lassen, 
finden u. A. Anwendung zur Lósung vieler Constructions- und Rechnungs-Aufgaben. 
Kapitel 7. 
Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 
878. Harmonische Punkte und Strahlenbüschel. 
1. Die Gesammtheit aller Punkte, welche in einer und derselben Geraden 
liegen, wird eine Punktreihe genannt, und diese Gerade heisst der Träger 
derselben. Die Gesammtheit aller Geraden einer Ebene, welche durch einen und 
denselben Punkt gehen, wird ein ebenes Strahlenbüschel genannt, und dieser 
Punkt heisst der Scheitel desselben. Jede einzelne Gerade eines Strahlenbüschels 
heisst ein Strahl; sie wird durch den Scheitel in zwei Halbstrahlen getheilt. 
Vier Punkte 4, 2, C, D einer Punktreihe heissen nach $ 37 insbesondere 
harmonische Punkte, und zwar 4 und 2, sowie C und 2 einander zugeordnet, 
wenn die Strecke AB durch C und D in (entgegengesetzt) gleichem Verhältniss 
getheilt wird. 
Vier Strahlen eines Strahlenbüschels heissen insbesondere „harmonische 
Strahlen“, wenn sie eine Gerade in vier harmonischen Punkten derselben 
schneiden. Dabei heissen je zwei Strahlen, welche durch zwei einander zuge- 
ordnete dieser vier Punkte gehen, einander „zugeordnete“ Strahlen. 
Aus § 37 ist bekannt, dass wenn AB durch C und D harmonisch getheilt