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— A 
7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 353 
wird, auch CD durch 4 und 5 harmonisch getheilt ist. Ebenso sind daselbst 
bereits folgende Sätze nachgewiesen worden: Zu jeder Strecke AB giebt es 
unzählig einander zugeordnete harmonische Theilpunkte €, D. Der äussere 
derselben D liegt auf der Verlängerung von AB über denjenigen. Endpunkt, 
welcher dem inneren näher liegt als der andere, oder beide Theilpunkte 
liegen vom Halbirungspunkte M der Strecke AB aus nach derselben Richtung. 
Diesem Halbirungspunkte selbst ist der unendlich entfernte Punkt der Geraden 
zugeordnet. In jedem Endpunkt der Strecke AB fallen zwei einander zugeordnete 
harmonische Theilpunkte derselben zusammen. Bewegt sich der innere Theil- 
punkt C vom Halbirungspunkte 47 aus stetig bis nach B, so bewegt sich der 
áussere 'Theilpunkt D stetig aus dem Unendlichen bis nach B; die beiden Punkte 
bewegen sich also einander entgegen. — Endlich ist in 8 37 eine Lósung der 
Aufgabe gegeben, eine gegebene Strecke nach einem gegebenen Verhiáltniss 
harmonisch zu theilen, bezw. zu einem gegebenen 'Theilpunkt einer Strecke den 
zugehörigen harmonischen 'T heilpunkt zu finden. 
Die harmonische Theilung kann in noch anderer Weise aufgefasst werden. Ist nämlich A4C: BC 
— AD: BD und zieht man die drei von demselben Anfangspunkte A ausgehenden Strecken 
AC, AB, AD in Betracht, so ergiebt sich, indem man die Glieder jener Proportion durch diese 
letzteren Strecken ausdrückt, 
AC:(AB— AC)= AD:(AD— AB) 
oder AC: AD = (AB — AC) : (AD — AB). 
Es verhält sich also die erste dieser drei Strecken zur dritten, wie die Differenz der zweiten 
und ersten zur Difizrenz der dritten und zweiten. 
Noch allgemeiner sagt man, dass vier Grössen a, 2, c, d in harmonischer Proportion stehen, 
wenn sich die erste zur vierten verhält, wie die Differenz der beiden ersten zur Differenz der 
beiden anderen, wenn also 
a:d-—(b—a) : (d — 2) 
wie dies beispielsweise bei den Zahlen 6, 8, 10, 15 der Fall ist. Sind dabei die zwei mittleren 
Grüssen einander gleich, ist also 
a:d- (b—a):(d — 0), 
armonische und die mittlere Grásse 2 das harmonische 
so heisst die Proportion eine stetig h 
d. Durch Auflósung der Proportion auf 4 ergicbt sich 
Mittel zwischen den beiden anderen a, 
leicht, dass dieses harmonische Mittel 
© 
de AU oder dass ; = ; +3 
ist. So ist beispielsweise die Zahl 12 das harmonische Mittel zwischen 9 und 18. 
also die obigen drei Strecken AC, AB, AD zu einander 
Der Name der letzteren erklärt sich dadurch, dass die 
deren Intervalle die Quarte, 
  
Nach dieser Erklärung stehen 
in stetiger harmonischer Proportion. 
Verhältnisse der Schwingungszahlen dreier musikalischer Töne, 
Quinte und Octave sind, nämlich 3:4: 6, eine solche Proportion liefern. 
Im Nachfolgenden wird von der vorstehenden Auffassung weiter kein Gebrauch gemacht, 
sondern die für geometrische Untersuchungen geeignetere vorher angegebene zu Grunde gelegt 
bleiben. 
Sind 4,7 und C,D zwei Paare zugeordneter harmonischer Punkte, ist also 
AC: BC=A4D: BD, 
so folgt unmittelbar 
AC:-BD=BC 4D, 
d. h. das Rechteck aus den beiden äusseren Abschnitten ist gleich dem Recht. 
eck aus der ganzen Linie und dem mittleren Abschnitt. 
Ist umgekehrt, wenn vier Punkte, der Reihe nach 4, C, B, D, auf einer 
Strecke liegen, 
ScurtoEMiLCH, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 23