A a 
  
  
  
  
  
  
  
  
354 Planimetrie. 
AC: BD =8BC AD, 
so sind 4, B und C, D zugeordnete harmonische Punkte. 
Ist ferner AB in M halbirt, und setzt man 4C — AM + CM, BC 
= AM — CM, AD=AM~+ MD, BD = MD — AM, so ergiebt sich nach 
einigen leichten Umformungen 
AM? — MC - MD, 
d. h. das Rechteck aus den Abständen des Halbirungspunktes einer Strecke von 
zwei einander zugeordneten harmonischen Theilpunkten derselben ist gleich dem 
Quadrat der Hälfte der Strecke. 
Ist umgekehrt für den Halbirungspunkt M einer Strecke AB und zwei von 
JM aus nach derselben Richtung der Geraden liegende Punkte C, .D die Glei- 
chung AM? = MC- M D richüg, so wird AB durch C und D harmonisch getheilt, 
denn in diesem Falle muss, wenn nicht ausnahmsweise XC= MD =— A M ist, eine 
der Strecken MC kleiner, die andere MD grosser als AM sein, und man kann 
aus der vorausgesetzten Gleichung in umgekehrtem Gang wie bei der vorhergehen- 
den Entwicklung die andere AC: BD = BC - AD ableiten. 
Liegen dagegen C und D nicht nach derselben Richtung von M aus, so 
kann AB durch sie nicht harmonisch getheilt werden. 
2. Es sei ferner S der Scheitel von vier 
ZN Strahlen, welche durch ie einen von vier har- 
X monischen Punkten 458, CD gehen, und es 
N werden dieselben Strahlen durch eine zweite 
; CEN , Transversale bezüglich in den Punkten 4'B', 
2 E: AND C'D' geschnitten, so sind folgende Fälle zu 
\ x unterscheiden: a) A'D' sei parallel zu AD. 
e] \ B NJ) Dann ist, weil A'C': B'C' = AC: BC (denn 
, AC: AC = BC : PC, wel beide Verhältnisse 
gleich SC :SC nach $8 36,;) und ebenso 
  
| \ 
i 
ALD: BD = dD: BD, such 
AC BC =A D3 BID 
Es falle ferner b) 4' mit 4 zusammen. Zieht man dann die Linien B'F | C'C 
und B'G || D'D bis zum Durchschnitt mit 
AD, so ist 
CF: BC = SB :50 wd GD: BD 
—SB': SB, daher auch CZ: BC=GD: BD, 
oder 
CH:GD= RC:RD. 
Nun ist zufolge der Voraussetzung 
BC: BD = AC:(AD, allo auch CF: AC 
N = CD: AD. 
/ CF \B a IN Ferner ist nach $ 386,, CF: AC = B'C': AC 
und GD:AD= BD: AD, 
  
  
woraus endlich wieder 
ACC: BO= AD: BD 
folgt. 
Ist endlich c) weder 4'D' || AD, noch 4' mit 4 identisch, so ziehe man 
durch A' die Parallele zu 4 D und wende die vorstehenden Entwicklungen nach 
einander an. Man gelangt so zu dem allgemein gültigen Satz: 
Vier harmonische Strahlen schneiden jede Transversale in vier 
     
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
   
    
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
   
  
  
  
  
  
   
    
i TX 
me