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1. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 389 
Steht eine Gerade senkrecht zu einer Ebene, so steht auch jede zu 
ihr parallele Gerade auf dieser Ebene senkrecht (3). 
Setzt man umgekehrt voraus, dass CD ebenso wie AB zu MN senkrecht 
stehe, so ergiebt sich durch eine ganz entsprechende Beweisführung (in umge- 
kehrter Ordnung) oder auch auf indirectem Wege: 
Alle geraden Linien, welche zu derselben Ebene senkrecht stehen, 
sind einander parallel (4). 
Im letzteren Satze ist stillschweigend vorausgesetzt, dass die beiden Senkrechten 
die Ebene in verschiedenen Punkten treffen. Das Gegentheil hiervon ergiebt sich 
als unmöglich, oder 
Auf derselben Ebene lässt sich in demselben Punkte nicht mehr als 
eine einzige Senkrechte errichten (5). 
Denn ist BA in B auf MN senkrecht und AC irgend eine zweite Gerade, welche 
MN in B schneidet, so muss die durch BA 
und BC bestimmte Ebene die Ebene MN in 
einer Geraden BD schneiden, und da AB À) 
senkrecht auf BD stehen muss, kann die in Ü 
derselben Ebene liegende BC nicht gleichzeitig d N 
auf BD, und also auch nicht auf der Ebene 
MN senkrecht stehen. 
4. Hiermit ist freilich noch nicht erwiesen, B 
dass sich überhaupt in jedem Punkte einer ge- 4 indue 
gebenen Ebene eine senkrechte Gerade errichten M 
lasse, während die entgegengesetzte Behauptung, dass sich durch jeden Punkt einer 
gegebenen Geraden eine zu dieser senkrechte Ebene legen lässt, leicht aus dem Frühe- 
ren folgt. Indem wir uns den Beweis für die erstere Behauptung vorbehalten, wollen 
wir zunächst bemerken, dass sich auch durch jeden Punkt einer gegebenen 
Geraden nicht mehr als eine einzige zu dieser senkrechte Ebene legen lässt, 
denn anderenfalls müssten in jeder durch diese Gerade gelegten Ebene zwei 
Linien — nümlich die Durchschnittslinien der Hülfsebene mit zwei senkrechten 
Ebenen — gleichzeitig in demselben Punkte auf der Geraden senkrecht stehen. 
In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass durch einen ausserhalb einer Ge- 
raden gegebenen Punkt stets eine und nur eine einzige senkrechte Ebene — und 
ebenso auch nur eine einzige senkrechte Gerade zu jener Geraden gelegt werden 
kann. Durch einen ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt ferner lásst sich 
nie mehr als eine einzige zu derselben senkrechte Linie ziehen, denn ist (Fig. 
S. 391) AB von A aus senkrecht auf M. N gefüllt und AC eine zweite Gerade, welche 
MN in C treffe, so schneidet die durch 4B und 4 C bestimmte Ebene die Ebene 
MN in BC, und da AB senkrecht auf BC 
ist, so kann nicht in derselben Hülfsebene 
auch AC senkrecht auf BC sein. 
Hiermit ist aber ebenfalls noch nicht A 
bewiesen, dass sich von jedem ausser- ( E 
/ 
    
halb einer Ebene gegebenen Punkt stets T 
eine senkrechte Gerade auf die Ebene r5 
fällen lasse. — Um diesen, sowie den 45 7177 
oben vorbehaltenen Beweis zu liefern, / 
seien durch einen in der Ebene MN M 7 
gegebenen Punkt 7 in dieser Ebene zwei ^