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(2). 
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1. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 391 
punkt der Senkrechten abstehen, sind gleich lang und haben gleiche Neigungs- 
winkel gegen die Ebene, denn die Dreiecke 
ABC, ABD sind congruent. Umgekehrt 
haben alle von 4 nach Punkten von MN \ 
gehenden Geraden von gleicher Linge auch \ 
gleiche Abstände der Fusspunkte vom Fuss- 
punkt der Senkrechten (also gleichlange Pro- à 
jectionen), sowie gleiche Neigungswinkel, und C Ta 
Gerade dieser Art, welche gleiche Neigungs- / 
winkel gegen die Ebene haben, sind gleichlang. / 
3) Je grosser der Abstand des Fuss- M 
punktes einer solchen Linie vom Fuss- 
punkt der Senkrechten ist, desto lánger ist die Linie und desto kleiner ihr Neigungs- 
winkel gegen die Ebene. Denn ist BE — BD, so mache man BF = BD und 
siche AZ, dann ist AF = AD, und der Satz auf einen bekannten planimetrischen 
Auch hier gelten, wie leicht ersichtlich, zwei Umkehrungen. 
en AB, der Linge a einer beliebigen 
7 der Fusspunkte beider besteht die 
zurückgeführt. 
Zwischen der Lünge der Senkrecht 
der schiefen Linien und der Entfernung 
Gleichung 
Grössen aus den übrigen gestattet. 
welche die Berechnung einer jeden dieser drei 
rgehenden Sätze unter 2) und 3) 
Mit Hülfe derselben können auch die vorhe 
bewiesen werden. 
3. Es sei ÆC die Projection von AB auf 
von F ausgehende Gerade in MN, AC senk- 
recht auf MN und FD — FC gemacht. Ver- 
MN, FD eine beliebige andere 
  
bindet man noch 4 mit D, so ist nach No. 2 7, x 
dieses Paragraphen AD > AC, und da die eA E 
Dreiecke AFC, AFD in den beiden anderen uo » 
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Seiten übereinstimmen, so folgt aus Planimetrie 
S19 Q) dos € AFD 7 £ AFC ist. 
Der Neigungswinkel ist also der E 
kleinste Winkel, welchen eine zu einer 
Ebene schief stehende Gerade mit Linien 5 
dieser Ebene bildet (3). 
4. Ist FE eine dritte von / ausgehende Gerade in MN, welche man sich auf 
der anderen Seite von /C gezeichnet denke, LK EFC ot DFC, FE=FD 
gemacht, 4C wieder senkrecht auf MN, und sind AD und AZ, sowie DC und EC 
aus der Congruenz der Dreiecke D FC und EFC, dass D C=FC 
sin A.D =2 AF ist. ‘Daher sind auch 
     
  
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Ÿ 0) 
gezogen, so folgt 
und mithin aus No. 2 dieses Paragraphen, d 
die Dreiecke AFD, AFE congruent, also ist 2 AFD = 2 APE, 
Liegt dagegen AZ (auf derselben Seite von ./C oder auf verschiedener 
mit #D) so, dass wie in obiger Figur £ FC D FC ist, so folgt entsprechend 
aus der Nichtcongruenz der Dreiecke DFC und EFC [Plan. $. 19, (1), dass 
EC DC, und mithin aus No. 2 dieses Paragraphen, dass AZ > AD ist. Die 
Nichtcongruenz der Dreiecke 47D, AFE [Plan. $ 19, (2)| führt damit weiter zu 
der Folgerung, dass Z AFF > AFD ist. 
Zieht man auf jeder Seite des Neigungsschenk 
Gerade unter einem rechten Winkel gegen ZG 
els FC von F aus in MN eine 
so müssen nach dem Obigen