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I. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 393 
Ebene von einem ausserhalb derselben gegebenen Punkte die senkrechte Gerade 
zu füllen, sowie auch der anderen, eine solche Senkrechte in einem gegebenen 
Punkte der Ebene auf dieser zu errichten. 
8 3. Parallele Gerade. 
1. Legt man durch eine Gerade AZ, welche eine Ebene MN. schneidet, 
eine beliebige zweite Ebene, so muss die letztere die erstere schneiden, und die 
Durchschnittslinie beider Ebenen muss durch den Fusspunkt / jener Geraden 
gehen. Ist eine Gerade AB, durch welche eine die Ebene #/ Vin CD schneidende 
zweite Ebene gelegt worden, dieser Durchschnittslinie parallel, so kann sie auch 
die Ebene MN nicht schneiden. Hiermit ist bewiesen, dass eine gerade Linie 
so gegen eine Ebene liegen kann, dass sie (in ihrer ganzen Erstreckung) keinen 
Punkt mit derselben gemeinschaftlich hat. Man sagt in diesem Falle, die Linie 
und die Ebene seien einander parallel. 
Es gilt demnach der Satz: Ist eine ausserhalb einer Ebene liegende 
Gerade einer Geraden dieser Ebene parallel, so ist sie der Ebene 
selbst parallel (1). 
9. Ist umgekehrt eine Gerade AB einer Ebene AN parallel, und 
schneidet eine durch A47 gelegte zweite Ebene die erstere, so ist die 
Durchschnittslinie zu 42 parallel (2) Da nàmlich beide Linien in der- 
selben Hülfsebene liegen, so kónnen sie einander nicht kreuzen, hätten sie aber 
einen Punkt gemeinschaftlich, so müsste 4.5 gegen die Voraussetzung diesen 
Punkt auch mit MXN gemeinschaftlich haben. 
Aus dem Vorigen ergiebt sich zugleich die Auflösung der Aufgabe: Zu einer 
gegebenen Ebene durch einen ausserhalb derselben gegebenen Punkt eine parallele 
Gerade zu ziehen. Man sieht leicht ein, dass unzählig viele solche Parallelen 
möglich sind. 
Umgekehrt lassen sich auch durch jeden ausserhalb einer Geraden gegebenen 
Punkt unzählig viele zu dieser Geraden parallele 
Ebenen legen, denn in der durch die Gerade 4 5 
und den Punkt C bestimmten Ebene lüsst sich 
durch C die zu 47 parallele Linie MN ziehen, 
und jede andere durch AMV gelegte Ebene muss 
zu AB parallel sein. 
Ist eine Gerade AB einer Ebene Z parallel, 
so fällt jede Gerade MN, welche durch einen Punkt 
C dieser Ebene parallel zu 4.5 gelegt werden kann, 
ihrer ganzen Erstreckung nach in diese Ebene, denn anderen Falls würde die 
durch AB und C bestimmte zweite Ebene Z in einer von MN verschiedenen 
Geraden /7'/V' schneiden, die dann ebenfalls zu AB parallel sein müsste, so 
dass zu A4B in derselben Hülfsebene zwei verschiedene parallele Gerade MV 
und /7'/V' durch denselben Punkt C gezogen sein würden. 
3. Alle von Punkten einer Geraden AB nach einer ihr parallelen 
Ebene gezogenen und unter sich parallelen Geraden liegen in einer 
und derselben Ebene (3), denn legt man durch AB und eine dieser Geraden 
DC die Ebene, so muss jede andere dieser Geraden, z. B. 47, in diese Ebene 
fallen, da sonst die von ihr verschiedene durch die Parallelen AM und DC 
bestimmte Ebene gleichwol mit ihr die Gerade 4 und den Punkt C gemein- 
schaftlich haben würde, was nicht moglich ist. 
  
    
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