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2 
2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 395 
Gerade AB und den Punkt C bestimmten Ebene auf die Folgerung führen, dass 
in letzterer zwel gerade Linien AC, BC môg- 
lich seien, welche beide zu derselben Geraden | 
senkrecht wären und einander gleichwol in | 
einem Punkte C schnitten. Da dies unmóg- 
lich ist, so kónnen die erstgenannten Ebenen 
in ihrer ganzen unendlichen Erstreckung keinen 
Punkt gemeinsam haben. Hiermit ist die 
Möglichkeit paralleler Ebenen erwiesen und 
der Satz gefunden: 
Ebenen, welche zu einer und der- 
selben Geraden senkrecht stehen, sind 
parallel. (1) 
9. Setzt man nun umgekehrt voraus, 
dass zwei gegebene Ebenen MN und PQ 
parallel seien, und zieht man in jeder derselben eine Gerade, so können 
diese letzteren nur einander parallel sein oder einander kreuzen, denn jeder 
gemeinschaftliche Punkt derselben müsste auch, entgegengesetzt der Voraus- 
setzung, den Ebenen gemeinschaftlich sein. Das Erstere findet statt, wenn durch die 
beiden Geraden eine dritte Ebene gelegt werden kann. Man hat somit den Satz: 
Parallele Ebenen werden von jeder sie durchschneidenden Ebene 
in parallelen Durchschnittslinien geschnitten. (2) 
Dagegen kann nicht umgekehrt behauptet werden, dass Ebenen, welche von 
einer anderen Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, einander parallel 
sein müssten, da es offenbar möglich ist, durch jede von zwei parallelen Geraden 
einer Ebene und einem und demselben Punkt ausserhalb der letzteren eine 
Ebene zu legen: 
3. Um die Lagen einer Geraden gegen zwei parallele Ebenen allgemein zu 
untersuchen, nehmen wir zunüchst an, dass die Gerade ganz in der einen Ebene 
liege. Es ist klar, dass sie in diesem Falle der anderen Ebene parallel sein 
muss, und dass also von ihr die Sätze gelten, welche 
im vorigen Kapitel von den zu einer Ebene parallelen 
Geraden bewiesen sind. Umgekehrt muss jede Gerade, °° 
welche durch einen Punkt der einen von zwei parallelen AL ade 
Ebenen parallel zu der anderen gelegt wird, ganz in Ü 
die erstere fallen, denn ist 4 ein Punkt der zu PQ 
parallelen Ebene MN, AB eine zu PQ parallele 
Gerade, und legt man durch 4.7 eine Ebene, welche je 
PO in CD schneide, so ist A 5 parallel zu CD, gleich- ¢/ —— A 
zeitig aber auch die Durchschnittslinie 42 der Hiilfs- p ERR in 
ebene und der Ebene MN parallel zu CD. Da aber 
in dieser Hülfsebene durch À nur eine einzige parallele Gerade zu CD gelegt 
werden kann, so muss AB mit AÆ zusammenfallen. 
Da sich ferner durch jeden Punkt À ausserhalb einer Ebene PO cine zu 
der von 4 auf PQ gefillten senkrechten Geraden senkrechte, also eine zu PQ 
parallele Ebene legen lässt, so folgt: 
  
  
  
  
  
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der geometrische Ort aller Geraden, welche sich durch einen Punkt 
ausserhalb einer Ebene zu dieser parallel ziehen lassen, ist eine zu 
ihr parallele Ebene (32).