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3. Von den Kórpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 429 
Hiernach kann ausser den Seitenlinien keine gerade Linie in einer Cylinder- 
fläche gezogen werden, vielmehr ist durch jeden Punkt der letzteren nur eine 
einzige Gerade in ihr möglich. Die Cylinderflächen sind also in keinem ihrer 
Theile eben; sie sind in sich zurückkehrende krumme Flächen. 
9. Jede durch einen cylindrischen Raum gelegte, einer Seitenlinie oder der 
Achse parallele Ebene muss die Cylinderflache in zwei Seitenlinien schneiden, 
denn wäre eine krumme Durchschnittslinie oder wäre ausser zwei Seitenlinien 
noch irgend ein anderer Punkt beiden Flächen gemeinsam, so müssten auch die 
simmtlichen durch die Punkte der krummen Linie, bezw. die durch den anderen 
Punkt gehende Seitenlinie ihrer ganzen Linge nach in die Schnittebene fallen, 
und somit auch der Fusspunkt jeder solchen Seitenlinie in der Ebene des Leit- 
kreises M ein dritter Punkt sein, welchen die Secante CD mit dem Kreise M 
gemeinschaftlich hätte. 
Geht ein solcher Schnitt durch die Achse selbst, so heisst derselbe ein 
Achsenschnitt der Cylinderfläche. 
Jede Ebene, welche durch eine Seitenlinie einer Cylinderfläche und durch 
eine Tangente des Leitkreises geht, hat mit der Cylinderfläche nur diese Seiten- 
linie gemeinsam, und liegt sonst ganz ausserhalb des cylindrischen Raumes, denn 
läge irgend ein Punkt der Ebene ausser jener Seitenlinie in der Cylinderfläche, 
  
  
  
  
  
  
oder läge ein solcher Punkt innerhalb des cylindrischen Raumes, so müsste diese 
Ebene die Ebene des Leitkreises in einer Secante schneiden. Eine solche Ebene, 
welche mit einer Cylinderflàche nur eine einzige Gerade gemeinsam hat, heisst 
eine Berührungs-Ebene (Tangential-Ebene) der Cylinderfliche, und diese 
Gerade heisst ihre Berührungslinie. 
Jede eine Cylinderfláche schneidende Ebene, welche einer Seitenlinie oder 
der Achse nicht parallel ist, muss simmtliche Seitenlinien schneiden und daher 
eine in sich zurückkehrende krumme Durchschnittslinie liefern. Ist die Ebene 
eines solchen Schnittes der Ebene der Leitlinie parallel, 
so ist die Durchschnittslinie ein Kreis, denn ist C der b 
Durchschnittspunkt der Achse mit der Ebene des Schnitts, UPS T ON 
und verbindet man diesen Punkt mit beliebigen Punkten f Ü 
A', B' der Durchschnittslinie, so kann man durch jede NT y 
der Geraden CA4', CB' und durch die Achse einen 0 
Schnitt legen, welcher die Cylinderfläche in einer Seiten- 
linie d'A, B'B und die Ebene des Leitkreises in einem 
Radius MA, MB schneiden muss. Da nun in Folge des 
Parallelismus der Ebenen C und M je zwei zusammen- pe 
gehôrige Durchschnittslinien CA’ und MA, CB und |” X 
MB parallel, und ausserdem CM jeder der Linien 4'A, IL 
B'B parallel ist, die Vierecke CA'AM CB'BM also EAN he 
Parallelogramme sind, so muss CA = MA, CH — MB, 
und da endlich MA = MB ist, auch CA'= CB' sein. 
Der Punkt C ist also von allen Punkten der Durchschnittslinie gleich welt ent- 
fernt, diese letztere ist mithin ein Kreis. 
Durch den vorstehenden Beweis ist gleichzeitig dargethan, dass alle durch zu 
der Ebene des Leitkreises parallele Schnittebenen entstehenden Kreise unter sich 
und dem Leitkreise congruent sind, und dass ihre Mittelpunkte sämmtlich auf 
der Achse liegen. 
8. Jeder durch eine Cylinderfläche und die einander parallelen Ebenen