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3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 431 
Für schiefe Cylinder sind die durch die Achse und je eine Seitenlinie 
bestimmten Parallelogramme im Allgemeinen in den Winkeln verschieden, und 
nur je zwei derselben, deren in einer Grundflüche liegende Seiten mit dem 
Neigungsschenkel der Achse gegen diese Grundfläche gleiche Winkel bilden, sind 
congruent. Entsprechendes gilt von den ganzen Achsenschnitten. Der kleinste 
der letzteren ist derjenige, welcher durch jenen Neigungsschenkel, oder was das- 
selbe ist, welcher durch die vom Mittelpunkte der einen Grundfläche auf die 
andere gefällte Höhe geht, und dessen Ebene also senkrecht zu den Grundflächen 
steht. Das Parallelogramm dieses Schnitts heisst das charakteristische 
Parallelogramm des Cylinders. 
4. Schliesslich ist noch zu bemerken, dass auch jede Cylinderfläche sich in 
eine Ebene aufwickeln lüsst, weil je zwei aufeinander folgende Seitenlinien 
parallel sind und also durch dieselben eine Ebene gedacht werden kann. Der 
Mantel eines geraden Cylinders liefert bei diesem Aufwickeln in der Ebene ein 
Rechteck, und umgekehrt lässt sich jedes Rechteck zu einem geraden Cylinder- 
mantel zusammenrollen. Das eine Seitenpaar eines solchen Rechtecks ist gleich 
dem Umfang der Grundflächen, das andere gleich den Seitenlinien des Cylinders. 
Bei einem schiefen Cylindermantel bilden die abgewickelten Umfänge der Grund- 
flächen keine geraden, sondern krumme Linien, deren Beschaffenheit hier nicht 
erórtert werden kann. — Aus dem Satze über die den Grundflächen parallelen 
Schnitte eines Cylinders geht ferner hervor, dass man sich jede Cylinderfláche 
auch durch Bewegung eines Kreises von unveründerlicher Grósse beschrieben 
denken kann, wenn der Mittelpunkt des Kreises sich auf einer Geraden bewegt 
und die Ebene desselben beständig ihrer ursprünglichen Lage parallel bleibt. 
Beschreibt die Kreislinie auf diese Art einen Cylindermantel, so beschreibt die 
zugehörige Kreisfläche den Cylinder. — Dass endlich jeder Cylinder als ein 
Kegelstumpf betrachtet werden kann, dessen Spitze im Unendlichen liegt, ebenso 
wie jedes Prisma als ein Pyramidenstumpf mit unendlich entfernter Spitze, ist 
schon bemerkt worden. Hierdurch erklärt sich die Analogie vieler Eigenschaften 
der betreffenden Körper-Arten. 
8 14. Die regelmässigen Polyeder. 
1. Jeder nur von ebenen Flächen begrenzte Körper wird ein Polyeder 
genannt. Ausser den in den Anwendungen am häufigsten vorkommenden Arten 
von Polyedern, den bereits besprochenen Pyramiden und Prismen, ist noch eine 
Gruppe solcher Körper von besonderem Interesse, welche man regelmässige 
Polyeder genannt hat. Unter einem solchen versteht man jeden ebenflächigen 
Körper, welcher von lauter congruenten und regelmässigen Figuren begrenzt wird, 
die in congruenten Ecken aneinanderstossen. Dass es solche Polyeder giebt, 
zeigt das Beispiel des schon früher erwähnten Würfels. 
Da die Summe der ebenen Winkel einer Ecke kleiner als 360 Grad sein 
muss, so kann man nicht sechs oder mehr gleichseitige Dreiecke zur Bildung 
einer Ecke aneinanderlegen, da schon bei sechs solchen Dreiecken die Summe 
der betreffenden ebenen Winkel gleich 6 - 60? — 360? sein würde. Regelmässige 
Polyeder, deren Grenzflächen Dreiecke sind, können also nur dreiseitige Ecken 
(mit der Winkelsumme 3-60° = 180°) oder vierseitige (Winkelsumme 4 - 60° 
= 940°), oder fiinfseitige (W. S. 300°) haben. Um ferner aus regelmässigen Vier- 
ecken eine Ecke zusammenzusetzen, kann man nur drei Flächen benutzen, in 
welchem Falle die betreffende Winkelsumme 3 + 90° == 270° beträgt; für vier