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Flächen würde dieselbe bereits 360°, für mehr als vier Flächen also mehr als 360° 
betragen. In gleicher Weise kann ein von Fünfecken begrenztes regelmässiges 
Polyeder nur dreiseitige Ecken (mit der Winkelsumme 3 - 108? — 324°) haben. Aus 
lauter regelmässigen Sechsecken lässt sich auch nicht eine dreiseitige Ecke zusam- 
mensetzen, denn drei Winkel solcher Sechsecke betragen zusammen schon 
3 - 120° = 360°. Noch weniger ist dies der Fall mit mehr als sechsseitigen regel- 
mássigen Polygonen, da die Winkel der regelmássigen z-Ecke mit zunehmenden 
Werthen von z immer grósser werden. Es kónnen also an regelmässigen Poly- 
edern nur fünf verschiedene Arten von Ecken vorkommen, und es entsteht nun die- 
Frage, ob zu jeder dieser Arten auch ein regelmässiges Polyeder, bezw. ob zu 
derselben mehrere solcher Polyeder möglich sind. 
2. Bildet man aus drei congruenten, regelmässigen Dreiecken ABC, ABD, 
ADC eine Ecke 4, so begrenzen die drei freien Seiten BC, CD, DB der Drei- 
ecke ein viertes, den ersteren congruentes Dreieck, dessen Ebene mit denen der 
ersteren einen Körper einschliesst. Die an den Punkten 
D, C, D entstehenden Ecken sind der Ecke 4 con- 
gruent, und es ist nicht móglich, mittelst einer anderen 
Ebene als 7 CD solche congruente Ecken an jenen 
Punkten zu erzeugen. Es giebt also einen und nur 
einen von regelmässigen Dreiecken begrenzten regel- 
mässigen Körper, dessen Ecken dreiseitig sind. Der- 
selbe heisst ein regelmüssiges Tetraéder, hat vier 
Flächen, vier Ecken und sechs gleich lange Kanten. 
Es ist eine regelmässige, gerade, dreiseitige Pyramide, 
deren Seitenflächen der Grundfläche congruent sind. 
3. Bildet man aus vier congruenten, regelmássigen Dreiecken 42 C, AC D, 
ADE, AEB eine Ecke A; so stossen an jedem der Punkte 2, C, D, E zwei 
dieser Dreiecke unter demselben Flüchenwinkel aneinander, wie im Punkte 4, 
und es müssen sich also an jedem der. ersteren Punkte noch zwei eben 
solche Dreiecke zu einer der Ecke 4 congruenten Ecke anlegen lassen. Jedes 
dieser letzteren Dreiecke nimmt an der Bildung zweier dieser congruenten Ecken 
zugleich "Theil, denn es muss z. B. das in C an CD angelegte Dreieck CD F in 
D an CD unter demselben Flüchenwinkel, wie in 
A C anliegen. Man hat also vier neue Dreiecke, 
welche ausserdem zu je zweien in einer Kante, 
2 B. CDF und BCF in CF, aneinanderliegen, 
und daher alle vier einen gemeinschaftlichen Eck- 
punkt / haben müssen. An diesem Punkte entsteht 
B« D nun durch das Zusammentreffen der vier Dreiecke 
eine neue vierseitige Ecke, welche dieselbe ebenen 
Winkel und dieselben Flächenwinkel wie die ande- 
ren hat. Somit giebt es auch hier eine bestimmte 
Art regelmässiger Polyeder. Diese von Dreiecken 
FH begrenzten regelmässigen Körper, deren Ecken 
vierseitig sind, heissen regelmássige Octaéder und 
haben acht Flächen, sechs Ecken und zwölf gleiche Kanten. 
4. Bildet man aus fünf congruenten, regelmässigen Dreiecken eine Ecke 4, so 
erhält man fünf Punkte B, C, D, E, F, an deren jedem zwei Fláchen der Ecke A 
unter demselben Neigungswinkel wie im Punkte A aneinander stossen. Daher