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3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 433 
müssen sich zu diesen zwei Flächen jedesmal noch drei weitere zu einer der Ecke 4 
congruenten Ecke hinzufügen lassen. Man erhält auf diese Weise im Ganzen 
zehn neue Dreiecke, welche wieder fünf freie Eckpunkte G, 7, /, Æ, L liefern. 
An jedem der letzteren stossen bereits drei Dreiecke unter denselben Flichen- 
winkeln wie an den bisher gebildeten Ecken 
zusammen, und durch Hinzufügung von je zwei 
weiteren Dreiecken an jedem dieser Eckpunkte, 
d. h. im Ganzen von fünf neuen Dreiecken 
erhilt man an jenen Punkten noch fünf den 
früheren congruente Ecken. Die neu ange- 
legten Dreiecke endlich stossen in je einer 
Kante so zusammen, dass sie einen gemein- 
schaftlichen Eckpunkt // haben müssen, an 
welchem endlich noch eine Ecke derselben 
Art entsteht. Es giebt also eine bestimmte Art 
von durch regelmässige congruente Dreiecke be- 
grenzten Körpern, welche fünfseitige congruente 
Ecken haben. Ein solcher Körper hat 20 Flächen, 
  
(M. 189.) 
19 Ecken, 30 gleich lange Kanten und heisst ein regelmássiges Ikosaéder. 
5. Legt man drei congruente Quadrate zu einer 
Ecke 4 zusammen, so erhält man wieder in den 
Endpunkten 2, C, D der Kanten derselben Punkte, 
in denen durch Hinzufügung je einer neuen Fliche 
eine congruente Ecke gebildet werden kann. Die 
drei neuen Flüchen bilden unter einander wieder eine 
ebensolche Ecke und schliessen mit den vorher- 
gehenden. einen Würfel ein. Die Würfel, auch 
regelmässige Hexaeder genannt, sind also die 
einzigen von Quadraten begrenzten regelmässigen 
Polyeder. Ihre wichtigsten Eigenschaften sind schon 
früher besprochen worden. 
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(M. 190.) 
6. Legt man an ein ebenes regelmässiges Ftinfeck ABC D E in einem seiner 
Eckpunkte À zwei ihm congruente Fünfecke zu einer dreiseitigen Ecke an, so 
kann jedes der letzteren zugleich zur Bildung einer 
ebensolchen Ecke an einem der anliegenden Eck- 
unkte 5, Æ dienen, und man erhält überhaupt 
durch Anlegen von je einem Fünfeck an jede Seite 
von ABCDE fünf derartige congruente Ecken. 
In jedem der freien Endpunkte einer der Kanten 
dieser Ecken, z. B. in /, stossen zwei der Fünf- 
ecke unter demselben Flächenwinkel, wie an dem 
anderen Endpunkt 4 an einander, und es muss sich 
daher in # durch Einfügung eines weiteren solchen 
Fünfecks eine der Ecke 4 congruente Ecke bilden 
ScuroEMiLCH, Handbuch der Mathematik. Bd. 1. 
  
(M. 191.) 
lassen. Auf diese Art erhält man im Ganzen fünf neue Fünfecke, welche wieder 
paarweise mit einer Seite zusammenstossen, und deren freie Seite ein dem vorigen 
congruentes Fünfeck begrenzen. Durch Hinzufügung der Ebene des letzteren müssen 
wieder fünf den früheren congruente Ecken entstehen, und der Kórperraum wird 
durch diese Ebene geschlossen. Es giebt also eine Art von durch Fünfecke begrenzten 
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