436 Stereometrie, 
Jede Ebene also, welche auf einem Kugelradius in seinem auf der Kugel- 
fläche liegenden Endpunkte senkrecht steht, hat mit dieser Kugelfläche nur diesen 
Punkt gemeinsam und liegt sonst ganz ausserhalb der Kugel. 
Jede Ebene, welche diese letzteren Eigenschaften hat, heisst eine Berührun gs- 
ebene (Tangentialebene) der Kugel, und der beiden Flächen gemeinsame Punkt 
heisst ihr Berührungspunkt. 
Auf indirektem Wege lässt sich leicht beweisen, dass umgekehrt jede Be- 
rührungsebene einer Kugel auf dem nach ihrem Berührungspunkte gehenden Ra- 
dius senkrecht steht, dass ferner die vom Mittelpunkte einer Kugel auf eine Be- 
rührungsebene derselben gefällte senkrechte Gerade die letztere im Berührungs- 
punkte trifft, und dass die auf einer Berührungsebene in ihrem Berührungspunkte 
errichtete senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel geht. 
4. Drei Punkte einer Kugelfläche können niemals in gerader Linie liegen, 
denn durch drei solche Punkte muss sich stets eine Ebene legen lassen, und da 
diese die Kugelfläche in einem Kreise schneidet, auf welchem jene drei Punkte 
gleichzeitig liegen müssten, so ist die Unmöglichkeit des Gegentheils der vor- 
stehenden Behauptung klar. Auf einer Kugelfläche lässt sich daher keine gerade 
Linie ziehen; die Kugelfläche ist eine krumme Fläche, welche sich von den 
früher behandelten krummen (Cylinder- oder Kegel-) Flächen dadurch wesent- 
lich unterscheidet, dass sich durch keinen ihrer Punkte auch nur eine Gerade 
in der Fläche ziehen lässt. Dieselbe kann daher auch nicht, wie diese, durch 
Bewegung einer Geraden beschrieben gedacht werden und lässt sich auch nicht 
in eine Ebene aufwickeln. 
Dagegen lässt sich durch jede drei auf einer Kugelfläche gegebene Punkte 
ein Kreis in derselben ziehen, denn durch drei solche Punkte ist stets eine und 
nur eine einzige Schnittebene der Kugel bestimmt. Dieser Kreis ist im Allge- 
meinen ein kleinerer Kreis, denn ein grösster Kreis ist schon durch zwei Punkte 
der Kugelfläche und den Mittelpunkt bestimmt, oder durch zwei auf einer Kugel- 
fläche gegebene Punkte lässt sich stets ein grösster Kreis derselben legen, und 
zwar nur ein einziger, falls nicht jene beiden Punkte mit dem Mittelpunkte in 
einer Geraden liegen, also Endpunkte eines Durchmessers sind. Durch einen 
einzigen gegebenen Punkt auf einer Kugelfläche lassen sich unzählig viele grösste 
Kreise legen, deren Ebenen einander sämmtlich in dem durch jenen Punkt gehen- 
den Durchmesser schneiden müssen. Ueberhaupt müssen zwei grösste Kreise 
einer Kugel einander immer in den beiden Endpunkten eines Durchmessers 
schneiden, und es halbiren also sowol die Umfänge als die Flächen derselben einander. 
Zu jedem grössten Kreise einer Kugel giebt es unzählig viele kleinere Kreise, 
deren Ebenen der Ebene des ersteren parallel sind. Die Mittelpunkte aller dieser 
Kreise liegen in einer Geraden; diese ist ein Durchmesser der Kugel und steht 
zu den Ebenen der Kreise senkrecht. Diesen Durchmesser nennt man die Achse, 
und seine Endpunkte die Pole des Systems jener Kreise, und insbesondere auch 
des diesem System angehörigen grössten Kreises. Die Ebenen aller durch die 
beiden Pole eines grössten Kreises gehender grössten Kreise derselben Kugel 
stehen senkrecht zur Ebene des ersteren, ihre Bogen von je einem Pol bis zu 
jenem grössten Kreis betragen 90 Grad. (Meridiane, Aequator, Parallelkreise.) 
Jeder Durchmesser einer Kugel kann als die Umdrehungsachse eines Halbkreises 
dienen, durch dessen Rotation die Kugel beschrieben wird; der beschreibende 
Halbkreis erhält dabei nach einander die Lagen sämmtlicher durch die Pole 
des zur Achse senkrechten grössten Kreises gehenden grössten Halbkreise.