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Anhang zum dritten Kapitel: Der Euler'sche Satz. 441 
von PM gegen die Ebene DCM, und also kleiner als der Winkel PMC. 
Mithin ist der Bogen C7 umsomehr kleiner als 90°. Ist dagegen der Winkel 4 
ein stumpfer, so ergiebt eine entsprechende Untersuchung, dass der Bogen DF, 
welcher zum Maass desselben dient, grosser als 90° und kleiner als jeder andere 
in Frage kommende Bogen, die dem Winkel 4 gegeniiberliegende Kathete also 
jedenfalls grösser als 90° ist. Somit ergiebt sich der Satz: 
In jedem rechtwinkeligen sphärischen Dreieck ist jede Kathete mit dem 
gegenüberliegenden Winkel gleichartig, d. h. zugleich kleiner oder grösser als 90°. 
Soll ferner bei einem spitzen Winkel A eines rechtwinkeligen sphärischen 
Dreiecks ABC nicht bloss die Kathete BC, sondern auch die Kathete B A kleiner 
als 90° sein, so muss B zwischen 4 und Z, also C zwischen À und D liegen, also 
die Hypotenuse AC ebenfalls kleiner als 90° sein. Für eine zweite Kathete, 
welche grosser als 90° ist, ergiebt sich entsprechend auch eine Hypotenuse, 
welche grösser als DA oder ebenfalls grösser als 90° ist. Wenn ferner der 
Winkel A als stumpf angenommen wird, so wird in gleicher Weise die Hypote- 
nuse kleiner oder grösser als 90°, je nachdem die andere Kathete stumpf oder 
spitz ist. Man hat also folgenden Satz gefunden: 
Sind die Katheten eines rechtwinkeligen sphärischen Dreiecks gleichartig, 
so ist die Hypotenuse kleiner als 90°, sind dieselben ungleichartig, so ist die 
Hypotenuse grösser als 90°, oder mit anderen Worten: 
Ist eine Kathete kleiner als 90°, so ist die andere mit der Hypotenuse gleichartig, 
ist eine Kathete grösser als 90°, so ist die andere mit der Hypotenuse ungleichartig. 
Mit Hülfe der Polardreiecke lassen sich aus den vorstehenden Sätzen ent- 
sprechende für sphärische Dreiecke ableiten, in denen eine Seite ein Quadrant ist. 
Jedes schiefwinkelige sphärische Dreieck lässt sich durch einen grössten Kreis- 
bogen, welcher von einem beliebigen Eckpunkt des Dreiecks aus senkrecht zur 
gegenüberliegenden Seite gezogen wird, als Summe oder Differenz zweier recht- 
winkeligen Dreiecke darstellen. Aus den vorstehenden Sätzen folgt unmittelbar, 
dass der Fusspunkt dieses senkrechten Bogens (der Höhe des Dreiecks) auf die 
gegenüberliegende Seite selbst oder auf deren Verlängerung fällt, je nachdem 
die dieser Seite anliegenden Winkel gleichartig oder ungleichartig sind. 
In derselben Weise, wie oben die Begriffe des sphärischen Dreiecks und 
seiner Stücke, lassen sich diejenigen sphärischer Vierecke und Polygone aufstellen. 
Eine besondere Erwähnung verdienen unter den letzteren die regelmässigen 
sphärischen Polygone, d. h. diejenigen, deren Seiten sämmtlich einander und 
deren Winkel sämmtlich einander gleich sind, denen also regelmässige Ecken am 
Mittelpunkt der Kugel entsprechen. In jedem solchen Polygon befindet sich ein 
Punkt, dessen (auf Bogen grösster Kreise gemessenen) Entfernungen von allen 
Seiten einander gleich sind. Derselbe Punkt ist in gleicher Weise von allen Eck- 
punkten des Polygons gleich weit entfernt. 
Anhang zum 3. Kapitel. 
Der Euler’sche Satz. 
Unter einem convexen oder EuLER’schen Poly&der versteht man ein 
solches, welches nur hohle Flächenwinkel hat, dessen Flächen also auch bei beliebiger 
Erweiterung das Polyéder nicht durchschneiden. Zu denselben gehóren also 
beispielsweise die sámmtlichen im § 14 behandelten regelmássigen Polyéder,