442 ; Stereometrie. 
ferner alle Prismen und Pyramiden, deren Grundflichen keinen iiberstumpfen 
Winkel haben, u. dgl. m. 
Ein solches Polyëder lässt sich stets in dreiseitige Pyramiden zerlegt denken, 
deren gemeinschaftliche Spitze ein Punkt im Innern des Körpers ist, und von 
denen jedes zur Grundfläche eine der Grenzflichen des Polyéders oder einen 
dreieckigen Theil einer solchen Grenzfliche hat. Umgekehrt kann man sich das 
Polyéder auch durch Aneinanderlegen solcher Pyramiden zusammengesetzt denken. 
Jede einzelne solche Pyramide hat nun 4 Eckpunkte, 4 Seitenflichen und 6 Kanten, 
und es ist also für dieselbe, wenn überhaupt die Anzahl der Eckpunkte eines 
Kórpers durch e, die seiner Seitenfláchen durch f und die seiner Kanten durch Z 
bezeichnet wird, 
e+f=k+2. 
Denkt man sich nun an eine solche Pyramide eine zweite so angelegt, dass 
zwei congruente Seitenflächen zusammenfallen, so wächst dadurch die Anzahl 
der Eckpunkte um 1, die der Grenzflächen — da eine der früheren in’s Innere 
fällt und drei neue hinzukommen — um 2, endlich die der Kanten um 3; es ist 
also jetzt e — 5, /— 6, £ — 9, mithin wieder e 4- / — £ 4- 2. In gleicher Weise 
. Wüchst durch jede weitere Hinzufügung einer neuen Pyramide, falls sonst keine 
Fláchen zusammenfallen, die Zahl der Ecken um 1, die der Fláchen um 2, die 
der Kanten um 3, so dass immer die Summe e 4- f um 2 grösser bleiben muss 
als £&. — Fallen ferner die Grundflüchen zweier Pyramiden in eine und dieselbe 
Ebene, so wächst zwar die Zahl der Flächen nur um 1, aber gleichzeitig ver- 
schwindet auch die eine Kante, in welcher die Grundflächen zusammenstossen, 
und der Satz muss also auch dann seine Gültigkeit behalten. Hat endlich eine 
angelegte Pyramide noch mit einer anderen der vorhergehenden eine Grenzfläche 
gemeinschaftlich, so fallen die betreffenden beiden Grenzflächen in's Innere des 
Körpers, es verändert sich also f nicht, während e und 2 um je 1 wachsen. 
Fallen endlich — bei der letzten Pyramide — alle drei Seitenflächen mit solchen 
früherer Pyramiden zusammen, so vermindert sich / um 2 und zugleich fällt die 
Spitze der Pyramiden als Eckpunkt fort, zugleich aber vermindert sich auch die 
Zahl der Kanten um 3. Durch diese Betrachtungen überzeugt man sich, dass 
die Summe e-r-/ mit der Anzahl £ der Kanten immer dieselbe Differenz 2 
behalten muss, oder dass der obige Satz e 4- f — k + 2 für alle convexen Polyëder 
gelten muss. 
Dieser Satz heisst nach seinem Entdecker der EuLER'sche Lehrsatz. 
Kapitel 4. 
Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 
8 16. Oberflächen von Polyëdern. 
Die Berechnung des Inhalts der Oberfläche eines Polyëders erfordert keine 
besonderen stereometrischen Sätze, denn dieselbe kann durch Addition der nach 
den betreffenden Sätzen der Planimetrie berechneten Maasszahlen der einzelnen 
Flächen geschehen. 
So ist z. B. der Inhalt der Oberfläche einer beliebigen dreiseitigen Pyramide 
gleich der Summe der Inhalte von vier Dreiecken. Sind also beispielsweise die 
sämmtlichen Kanten eines solchen Körpers gemessen, und bezeichnen a, 6, <,