en, 
len 
1en 
so 
els 
)en 
nd- 
SK 
nn, 
"en 
en. 
lius 
der 
des 
len 
npf 
elst 
Ses 
ich 
be, 
  
  
   
4. Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 447 
M= 259 ist, wenn ausserdem die Peripherien der beiden Grundflächen D-395, 
  
  
; . P + 
p= 17 gegeben sind. Da P=29Rn, p=2rmx so ist (R + n= SF, also 
Pp : 5 2M : 5 
M = $t Hieraus folgt zunüchst s — gius 7 Mittelst eines Achsenschnitts 
des Kegelstumpfs erhilt man ferner 
—— 4 M? (P—£). 
ys 735 = / se 
h = ys? — (R —r)?, also À } P+p iz 
2. S 2 
Für das Zahlenbeispiel hat man s — —5— Bn — 19, 
  
8 4 
Ry == p=, l= 144 — 15 — 11,932 
4 dV 
8 19. Oberflächen der Kugeln. 
1. Für die Berechnung der Oberfläche einer Kugel lässt sich nicht in gleicher 
Weise, wie in der Planimetrie von den regelmässigen Polygonen zum Kreise, ein 
Uebergang von dem regelmüssigen Polyédern finden, da die Anzahl der Fláchen 
der letzteren nicht bis in's Unendliche zunehmen kann. Dagegen erhált man 
durch Rotation der Hilfte eines regelmissigen Polygons um eine durch seinen 
Mittelpunkt und einen Eckpunkt, bezw. die Mitte einer Seite gehende Achse 
einen Korper, dessen aus vollstindigen oder abgestumpften Kegel- bezw. Cylinder- 
Minteln bestehende krumme Oberfläche in eine Kugelfläche als Grenze übergeht, 
wenn man das Polygon mit in’s Unendliche wachsender Seitenzahl in den ihm 
einbeschriebenen Kreis übergehen lässt. 
Es sei AB eine die Umdrehungs-Achse in ihrem Endpunkt 4 schneidende, 
also bei der Rotation einen vollständigen Kegel- 
mantel beschreibende Seite der rotirenden Hälfte 
des Polygons, M der Mittelpunkt des einbeschriebe- 
nen Kreises, / der Berührungspunkt dieses Kreises 
mit AB und BG senkrecht auf AA. Dann ist 
der Inhalt des von AB beschriebenen Kegelmantels 
gleich 48 - BG - wn. Zieht man nun FM, so 
stimmen die Dreiecke ABG und AFM ausser in 
dem gemeinschaftlichen Winkel bei 4 in den rechten 
Winkeln AGB und AFM überein und sind also 
ähnlich. Hieraus folgt 
BG: AG = FM:AF oder AF.BG = FM- AG. 
Bezeichnen wir die Länge des Radius FM 
durch 7, setzen 4 F =} AB und multipliciren noch 
beide Seiten der vorhergehenden Gleichung mit 2, 
so erhalten wir 
  
  
  
(M. 198.) 
AB-BG-n—2rr- AG, 
d. h. der oben angegebene Inhalt des Kegelmantels ist gleich dem Inhalt eines 
geraden Cylindermantels, welcher den Radius des einbeschriebenen Kreises zum 
Grundflächen-Radius und die Hôhe AG des Kegels zur Hôhe hat. 
Es sei ferner BC eine der Seiten des Polygons, welche abgestumpfte Kegel- 
müntel beschreiben, Z7 ihr Berührungspunkt, /7/ senkrecht zur Drehungsachse 
AM, und BK senkrecht zu HZ, so ist H/ der Radius des mittleren Durch-