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4. Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 
log a = 1,03356 
log a? = 2,06712 
log 3 = 0,47712 
log = = 0,49715 
log O = 3,04139; O = 1100,0. 
3. Die Berechnung des Flächeninhalts von Theilen einer Kugelfläche, welche 
durch eine einzige ebene Schnittfläche von derselben abgeschnitten werden, 
ergiebt sich ebenfalls aus der Entwicklung in No. 1 dieses Paragraphen. Man 
nehme zu diesem Zwecke zur Rotationsachse den zu jener Schnittfliche senk- 
rechten Durchmesser der Kugel und denke sich statt sámmtlicher von den Seiten 
des Polygons beschriebener krummen Flächen nur diejenigen addirt, welche zu 
dem abgeschnittenen Theil der Kugel gehören. 
Man nennt einen solchen Theil der Kugelfläche eine Kugelmütze oder eine 
Calotte und den innerhalb des zugehörigen Körperstücks liegenden Theil der 
Drehungsachse die Höhe der Calotte. Hiernach hat man den Satz: 
Der Flücheninhalt X einer Calotte ist gleich dem Mantel eines geraden 
Cylinders, dessen Grundfláchenradius gleich dem Radius » der Kugel, und 
dessen Höhe gleich der Höhe % der Calotte ist, oder 
M=2rr-h (3a) 
Ein von zwei einander parallelen Schnittebenen einer Kugel abgeschnittener, 
von den Schnittkreisen begrenzter Theil der Kugelfläche heisst eine Zone der 
letzteren; der senkrechte Abstand der beiden Schnittflächen von einander ist die 
Höhe der Zone. Durch eine entsprechende Entwicklung wie bei der Calotte 
erhält man für den Flächeninhalt einer Zone denselben Lehrsatz wie vorher, 
so dass auch für sie die Formel 
M-—9rx-A (8b) 
gilt. — Die Calotte kann als eine Zone betrachtet werden, deren einer Grund- 
kreis auf einen Punkt reducirt ist, und demnach kónnen auch die beiden vor- 
stehenden Lehrsátze in einen einzigen zusammengefasst werden. 
Dieser Lehrsatz zeigt, dass bei einer und derselben Kugel der Flácheninhalt 
einer Zone nur von ihrer Höhe abhängig ist, dass also Zonen von gleicher Höhe 
in derselben Kugel stets gleich gross sind, einerlei ob sie näher am Mittelpunkt 
oder ferner von demselben herausgeschnitten werden. Theilt man also z. B. einen 
Durchmesser einer Kugel in z gleiche Theile und legt durch jeden Theilpunkt 
die zu dem Durchmesser senkrechte Ebene, so wird auch die Oberfläche der 
Kugel in z gleiche Theile getheilt. 
Will man den Flächeninhalt einer Zone aus den Radien p, p' ihrer Grund- 
flächen und dem Kugelradius z berechnen, so sind 
zwei Fálle zu unterscheiden, je nachdem die beiden 
Grundflàchen nach derselben Seite oder nach ver 
schiedenen Seiten vom Mittelpunkte aus legen. Im 
ersteren Falle ergiebt sich 4 —y 7? — p? — pr? — e'?, 
im letzteren. 4 — Vr?—e? -- Vr?—9p?, also ist 
M. orclu7 1: Vi 
== )rT IV? e EL V7 zo 1 
Geht insbesondere die eine Schnittebene durch 
den Mittelpunkt, so ist p' = z, also 4 — Wry r? — 02. (M. 199.) 
  
9} 
Wird die Zone zur Calotte, ist also p — 0, so ist M== 27T [> = r?—p'à|. 
ScHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. 1. 29