Full text: Handbuch der Mathematik (1. Abtheilung, 2. Theil, 1. Band)

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
450 Stereometrie. 
4. Der Flücheninhalt eines sphürischen Zweiecks ist durch den Kugelradius 
und den Winkel des Zweiecks bestimmt. Dass sphárische Zweiecke derselben 
Kugel congruent sind, wenn sie gleiche Winkel haben, lässt sich unmittelbar 
durch Deckung derselben beweisen. Theilt man ferner die Winkel zweier be- 
liebigen sphärischen Zweiecke derselben Kugel durch ein gemeinschaftliches 
Maass in gleiche Theile, so müssen die theilenden grössten Halbkreise auch die 
Zweiecke in bezüglich eben so viele kleinere Zweiecke theilen, und man erhält 
daher den allgemeineren Satz: 
die Flächen von sphärischen Zweiecken derselben Kugel verhalten sich zu ein- 
ander wie die Winkel der Zweiecke. 
Daher muss sich der Flächeninhalt eines sphärischen Zweiecks auch zur 
ganzen Kugelfläche verhalten, wie der Winkel des Zweiecks zu 360°. Die Pro- 
portion #:472x — 4:360? führt zu 
2m. 
t e 
5. Um den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks zu berechnen, bedarf 
man zunächst des Lehrsatzes, dass die Flächen je zweier Gegendreiecke gleich 
gross sind. Wie früher (8 15, No. 7) gezeigt wurde, hat jedes sphärische Droi- 
eck einen Punkt, welcher so liegt, dass die Bogen grôsster Kreise, welche den- 
selben mit je einem Eckpunkt verbinden, gleich gross sind; durch diese Bogen 
wird also das Dreieck in drei gleichschenkelige sphärische Dreiecke zerlegt. 
Jener Mittelpunkt des Dreiecks ist der eine Endpunkt eines Durchmessers, in 
welchem sich drei Ebenen schneiden, die auf den Flächen der zum Dreiecke 
gehörigen Ecke bezüglich senkrecht stehen, und jedesmal die betreffende Seite 
des Dreiecks halbiren. Hieraus geht hervor, dass die Mittelpunkte zweier Gegen- 
dreiecke Endpunkte eines und desselben Durchmessers sind, und dass daher 
auch die gleichschenkeligen Dreiecke, in welche jedes derselben durch die 
sphärischen Radien zerlegt wird, paarweise Gegendreiecke sind. Gleichschenkelige 
sphärische Dreiecke, welche zu einander symmetrisch sind, müssen aber auch 
in Folge der Uebereinstimmung der beiden Schenkel sowie der ihnen gegenüber- 
liegenden Winkel unter einander congruent sein, denn die homologen Stücke 
können in beiden Aufeinanderfolgen angenommen werden. Da nun congruente 
sphärische Dreiecke gleiche Flächen haben müssen, so erscheinen die beiden 
ursprünglichen sphärischen Dreiecke als aus gleich vielen einander paarweise 
gleichen Theilen zusammengesetzt, und dieselben sind mithin selbst von gleicher 
Grösse. — Allgemein haben die Flächen je zweier symmetrischer sphä- 
rischer Dreiecke gleiche Inhalte, denn diese Dreiecke können immer in 
die Lage von Gegendreiecken zu einander gebracht gedacht werden. 
Denkt man sich nun ein beliebiges sphärisches 
Dreieck ABC durch jedes seiner Nebendreiecke zu 
einem sphärischen Zweieck ergänzt, so ist jeder 
Winkel des Dreiecks zugleich der Winkel eines der 
Zweiecke. Es seien a, B, y bez. die Masszahlen der 
Winkel 4, B, C des Dreiecks ABC, so erhält man 
hiernach 
Fx 
22. 
A ABC+CBD= are 
2m 
ANC dec e, 
90 
  
    
   
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.