450 Stereometrie.
4. Der Flücheninhalt eines sphürischen Zweiecks ist durch den Kugelradius
und den Winkel des Zweiecks bestimmt. Dass sphárische Zweiecke derselben
Kugel congruent sind, wenn sie gleiche Winkel haben, lässt sich unmittelbar
durch Deckung derselben beweisen. Theilt man ferner die Winkel zweier be-
liebigen sphärischen Zweiecke derselben Kugel durch ein gemeinschaftliches
Maass in gleiche Theile, so müssen die theilenden grössten Halbkreise auch die
Zweiecke in bezüglich eben so viele kleinere Zweiecke theilen, und man erhält
daher den allgemeineren Satz:
die Flächen von sphärischen Zweiecken derselben Kugel verhalten sich zu ein-
ander wie die Winkel der Zweiecke.
Daher muss sich der Flächeninhalt eines sphärischen Zweiecks auch zur
ganzen Kugelfläche verhalten, wie der Winkel des Zweiecks zu 360°. Die Pro-
portion #:472x — 4:360? führt zu
2m.
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5. Um den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks zu berechnen, bedarf
man zunächst des Lehrsatzes, dass die Flächen je zweier Gegendreiecke gleich
gross sind. Wie früher (8 15, No. 7) gezeigt wurde, hat jedes sphärische Droi-
eck einen Punkt, welcher so liegt, dass die Bogen grôsster Kreise, welche den-
selben mit je einem Eckpunkt verbinden, gleich gross sind; durch diese Bogen
wird also das Dreieck in drei gleichschenkelige sphärische Dreiecke zerlegt.
Jener Mittelpunkt des Dreiecks ist der eine Endpunkt eines Durchmessers, in
welchem sich drei Ebenen schneiden, die auf den Flächen der zum Dreiecke
gehörigen Ecke bezüglich senkrecht stehen, und jedesmal die betreffende Seite
des Dreiecks halbiren. Hieraus geht hervor, dass die Mittelpunkte zweier Gegen-
dreiecke Endpunkte eines und desselben Durchmessers sind, und dass daher
auch die gleichschenkeligen Dreiecke, in welche jedes derselben durch die
sphärischen Radien zerlegt wird, paarweise Gegendreiecke sind. Gleichschenkelige
sphärische Dreiecke, welche zu einander symmetrisch sind, müssen aber auch
in Folge der Uebereinstimmung der beiden Schenkel sowie der ihnen gegenüber-
liegenden Winkel unter einander congruent sein, denn die homologen Stücke
können in beiden Aufeinanderfolgen angenommen werden. Da nun congruente
sphärische Dreiecke gleiche Flächen haben müssen, so erscheinen die beiden
ursprünglichen sphärischen Dreiecke als aus gleich vielen einander paarweise
gleichen Theilen zusammengesetzt, und dieselben sind mithin selbst von gleicher
Grösse. — Allgemein haben die Flächen je zweier symmetrischer sphä-
rischer Dreiecke gleiche Inhalte, denn diese Dreiecke können immer in
die Lage von Gegendreiecken zu einander gebracht gedacht werden.
Denkt man sich nun ein beliebiges sphärisches
Dreieck ABC durch jedes seiner Nebendreiecke zu
einem sphärischen Zweieck ergänzt, so ist jeder
Winkel des Dreiecks zugleich der Winkel eines der
Zweiecke. Es seien a, B, y bez. die Masszahlen der
Winkel 4, B, C des Dreiecks ABC, so erhält man
hiernach
Fx
22.
A ABC+CBD= are
2m
ANC dec e,
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