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4. Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 
2m. 
AABC--ABF— Le 
2 
folglich 3+ A ABC + CBD + ACE + ABF="5 (a+ B +7). 
Setzt man nun statt des Inhalts des Nebendreiecks 4C E den Inhalt des ihm 
gieichen Gegendreiecks A.D F desselben und berücksichtigt, dass die Summe der 
vier Dreiecke ABC, CBD, BDF, ABF gleich der Halbkugelfläche, also gleich 
97? x ist, so erhält man 
2 
2- A ABC+ 2735 = gpl + B + 1, 
ar 
woraus A ABC= Ie +B +7) — 7x, 
rn e 
oder A ABC = wg (a +B + 1— 180) (52) 
folgt. Den Ueberschuss der Winkelsumme o + B + 7 eines sphärischen Dreiecks 
über 180° nennt man den sphärischen Excess des Dreiecks. Bezeichnet man 
denselben durch e, so hat man kürzer 
ze un ute 5b 
A ARC re 186° (5b) 
Als Beispiel der Berechnung des Flücheninhalts eines sphärischen Dreiecks 
diene diejenige des Dreiecks Brocken-Hohehagen-Inselsberg, dessen direkt 
gemessene Winkel den spháürischen Excess e — 14", 853 ergaben. Nimmt man 
den Erddurchmesser zu 1716,96 Meilen an, so erhált man 
y 858,48; 02 7 = 2,93373 
log r? — 5,86746 
fogce —1,17189 
7,03928 
180° 
log p = 5,81443; (p — = 
log F = 1,72485; F = 53,070 C) Meilen. 
Bei Dreiecken auf der Erdoberfläche hat, wie in dem vorstehenden Beispiel, 
der sphärische Excess in der Regel einen kleinen Werth, da solche Dreiecke, 
deren drei Winkel durch unmittelbare Messung bestimmt werden sollen, nur 
verhältnissmässig kleine Seiten haben können und daher von einem ebenen Drei- 
eck wenig abweichen. Bei derartigen Dreiecken kann man nach einem Satze 
von LEGENDRE jeden Winkel um den dritten Theil des sphärischen Excesses ver- 
mindern und dann das Dreieck als ein ebenes berechnen, dessen Winkel die so 
erhaltenen Differenzen sind. Näheres über die Berechnung sphárischer Dreiecke 
findet man in der sphärischen Trigonometrie. 
Auch der Inhalt der Fläche eines sphärischen Polygons kann nach der 
T 
180? 
Winkelsumme des sphárischen z-Ecks über (22—4) A, also über die Winkelsumme 
eines ebenen z-Ecks versteht. Man erhält diesen Satz leicht, wenn man das 
n-Eck durch Diagonalbogen in Dreiecke zerlegt, die Flächen der letzteren, 
wie vorher gezeigt, einzeln berechnet und dann dieselben addirt. 
  
  
- 60 . 60) 
Formel Z-:?e.- berechnet werden, wenn man unter e den Ueberschuss der 
[PE AM 
  
  
  
EE