gleich 
zleich 
hnitt- 
llelen 
ttener 
durch 
lessen 
Volu- 
elben 
ittlere 
4 ab, 
:echt- 
en zu 
096 2, 
+ 44) 
a,b 
)1 bm. 
1. 
elben 
anern 
5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 467 
als Spitze von Pyramiden, deren Grundflächen die einzelnen Grenzflächen des 
Polyeders sind, oder durch Diagonalschnitte u. dgl. m. Auch können, wo es thun- 
lich und bequem erscheint, selbstverständlich statt einzelner Pyramiden oder statt 
aller auch Prismen, Pyramidenstumpfe und überhaupt Prismatoide benutzt werden. 
Dieses Verfahren lässt sich auch zur näherungsweisen Bestimmung der Kubik- 
inhalte krummflächiger Körper anwenden, indem man dieselben als ebenflächige 
behandelt, deren Grenzflächen hinreichend klein angenommen sind, so dass der 
durch Vertauschung derselben mit den zugehórigen Theilen der krummen Ober- 
flàche begangene Fehler die im einzelnen praktischen Fall erlaubte Fehlergrenze 
nicht übersteigt. 
9. Für die Berechnung des Volumens einer Kugel führt ein entsprechendes 
Verfahren zu einer vollkommen genauen Formel Denkt man sich nämlich 
den Mittelpunkt der Kugel als gemeinsame Spitze von Pyramiden, deren Grund- 
flächen die Kugel berühren, also Grenzflüchen eines umbeschriebenen Polyeders 
sind, so sind die Hóhen aller dieser Pyramiden gleich dem Kugelradius z, und wenn 
Sen $25 die Inhalte der Grenzflächen, O die gesammte Oberfläche des 
Polyeders bedeutet, so ist der Kubikinhalt des letzteren gleich 
irGuctqàt4 0e i0r (1) 
Diese Formel ist gültig ohne Rücksicht auf die Anzahl der Grenzfláchen des 
Polyeders. Denkt man sich nun diese Anzahl unendlich gross werdend, indem 
die einzelnen Grenzflichen bis zum Verschwinden abnehmen, so geht das Polyeder 
in die einbeschriebene Kugel über. Es muss also auch für diese der Saiz gelten, 
dass ihr Kubikinhalt gleich dem dritten Theile des Produkts aus ihrer Oberfläche 
und ihrem Radius ist. Setzt man noch für die Oberfläche den früher berechneten 
Werth O = 4 72x, so erhält man für das Volumen die Forme! 
V=47r3n (2) 
Beispiele: 1. Eine Büchsenkugel habe einen Durchmesser gleich 6,4cm. 
Wie viel wiegt dieselbe, wenn das specifische Gewicht des Bleis 11,33 ist? 
Man erhält P = $ - £s 
9. Um die Wandstürke einer hohlen eisernen Kugel zu bestimmen, wurde 
dieselbe in Wasser geworfen, und man fand, dass sie gerade zur Hälfte in dem- 
selben einsank. Der áussere Durchmesser der Kugel wurde gleich 24v gemessen; 
das specifische Gewicht des Eisens war 7,4. Wie gross ergiebt sich hieraus die 
Wandstürke der Kugel, wenn das Gewicht der eingeschlossenen Luft nicht beriick- 
sichtigt wird? 
Ist die Wand der Halbkugel xdc dick, so ist das Volumen derselben 
gleich 4x (78 — (7 — x)3) = 4 7 (872% — 372? + x3), also fir r=1, V= 
4 7 (3x — 3x2 + x3), und mithin das Gewicht derselben gleich 7,4 VKg. Dieses 
Gewicht ist gleich demjenigen einer Halbkugel aus Wasser, deren Radius 7 —1 
ist, mithin gleich 2x Kg. Hieraus folgt die Gleichung 
7449. (34322 x)=, oder besser: 74-2[1—(1 —x)3]=1, 
; 1 1 138 
woraus 1 — (1 — x)? Sy (1—x)3=1— i48 7 14$ also 
3 
) Om + 10by * 11,33 = 4 - 0,648 x - 11,33 — 1,555 Kgr. 
S ^S 
Lx V5 — 0,97695, x — 1 — 0,97695 — 0,02305 de, 
oder ungeführ 2,3 Millimeter folgt. 
3. Wie viele Kugeln, deren Durchmesser i,6 cm betragen, kónnen aus 
64 Kg Blei gegossen werden, dessen specifisches Gewicht 11,39 ist? 
3o*