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5. Die Berechnung der Rauminhalte der Kórper. 469 
Segments gleich z —? oder gleich 7 +p. Demnach ist der Rauminhalt des 
kleineren Segments gleich 
In(r— Ax p)i@r—r -- Az p) dx(r—Ahzgpyr--A-p» 
und der des grósseren Segments gleich 
Ir rr dp) dn (rm Dr 3p, 
also die Differenz derselben gleich 
ic (rz Dr t p). (rx Qr p) (rp DM-e deor MED) 
— dati (27 + AE p) 
— Lrh [472 + 4rp +272 F 9hp + 2rp — 2p? —r? E2rp—p” —9r h—h? hp), 
d. i. V= 17487? — 3p? — N° == 3A. (5% 
Diese Formel gilt auch, wenn beide Schnittkreise gleich gross sind. In diesem 
Fall ist das untere Vorzeichen zu wählen und 4 — 25 zu setzen, so dass man V 
= inp (372 — p*) erhält. Geht dagegen eine der Schnittebenen durch den 
Mittelpunkt, so ist 5 — 0 und also /— 4xA(3r? — A?). Man sieht leicht ein, 
wie die erstere Formel auch aus dieser letzteren abgeleitet werden kann. Reducirt 
sich ferner eine Schnittfláche auf einen Punkt, so ist p = dz (r — A) zu setzen, also 
= 4x4? (3r— 4). Die Formel für das Kugelsegment ist also in der für die 
körperliche Zone als besonderer Fall enthalten. 
Soll das Volumen einer körperlichen Zone mittelst ihrer Hohe 7 und der 
Radien p,, p» ihrer Grundkreise berechnet werden, so hat man z und ? mit Hülfe 
cop 
der Gleichungen 
He HS 
durch p,, o9 und Z auszudrücken und die gefundenen Ausdrücke in die obige 
Gleichung für // einzusetzen. Am kürzesten setzt man zunüchst oben 37?— 32? 
— 8 (r? — p?) = 3p,°, ermittelt dann aus p,? + #2 = p3? + @ + p)”, 
2 0.2 2 
centi p? 2 7 
+ np = 9 ) 
und erhält 
TA 
V={nh[3p1? — 1° ipo += (2 p1? + Pa” — p1* A — $4, 
Vini (0) 
welche Formel für beide Fälle in gleicher Weise gilt und für ein Kugelsegment, 
d. h. für. o9, -- 0, in 
—inAp? px 
übergeht. 
Beispiele: 1. Man soll den Kubikinhalt eines Kugelausschnitts aus dem 
Umfang ? der ebenen Grundfläche des zugehörigen Segments und dem Umfang P 
eines gróssten Kreises der Kugel berechnen. 
à 2 RE 
Es ist 9px = ? und 275 — 7 also p— zZ ys ác ferner 2 = 7 = Vr? — e*, 
pyr fr 8 ps ee 
: = ; un re n mmm rem D m T — 2:22.52 
also V= 4x Da (377 x2 Ar? = 5x (P+v? 2?) 
9. Fine hölzerne Kugel von a Meter Durchmesser sinkt in destillirtem Wasser 
von 49 so weit ein, dass der hervorragende Theil die Hohe % Meter hat. Man 
soll das specifische Gewicht der betreffenden Holzart berechnen. a= 1, 4 — 0,2 
Ist x das gesuchte specifische Gewicht, so ist das Gewicht der ganzen Kugel 
2. Af aS : 
gleich 3 (5) . 1000 x Kg, das Volumen des verdrüngten Wassers, d.i. das Volu- 
  
| 
4 
Wt 
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