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4. Das allgemeine Dreieck.
Die Formel ist, da sie keine trigonometrische Function mehr enthilt, der
Natur der Sache nach gar keine trigonometrische, sondern eine — hier nur mit
Hiilfe der Trigonometrie abgeleitete — rein geometrische. Dieselbe kann daher
auch rein geometrisch abgeleitet werden. Vergl. Plan. § 48, (5).
Die numerische Berechnung des Flicheninhalts eines Dreiecks nach dieser
Formel bedarf keiner Erläuterung. Sind die Winkel vorher nach der Anleitung
in 8 18 berechnet worden, so ergiebt sich ein leichter Anschluss an diese
Rechnung. Man hat nur die schon vorhandenen Logarithmen von p und von s zu
addiren, um den Jog Æ zu erhalten. So war in dem obigen Zahlenbeispiel
log o — 0,4088
log s — 1,183040
also ist be FF = 1,53927
F == 34,615.
ITI. Abschnitt.
Sphärische Trigonometrie.
Vorbemerkung.
Die sphärische Trigonometrie hat die Aufgabe zu lôsen, aus drei gegebenen
Bestimmungsstücken eines sphárischen Dreiecks die übrigen zu berechnen. Hierzu
wird an dieser Stelle der Begriff des sphürischen Dreiecks nebst den in Stereo-
metre 8 15 und 8 19 behandelten Eigenschaften desselben als bekannt voraus-
gesetzt. Wir beschrünken uns ferner im Folgenden auf die Auflósung solcher
sphürischen Dreiecke, in denen jede Seite kleiner als ein Halbkreis ist. Dreiecke,
welche diese Bedingung nicht erfüllen, kónnen leicht durch Zerlegung in zwei
oder mehrere auf solche zurückgeführt werden, bei welchen dies der Fall ist.
Die Aufstellung dieser beschrünkenden Bedingung ist übrigens nicht nothwendig,
vielmehr kónnte durch Beseitigung derselben den nachfolgenden Entwicklungen
mit geringer Abänderung der Charakter völliger Allgemeinheit gewahrt werden,
doch gewinnt im anderen Falle die Darstellung an Einfachheit und leichterer
Verständlichkeit.
Wir bezeichnen im Folgenden in entsprechender Weise wie bei den ebenen
Dreiecken ein sphärisches Dreieck stets durch ABC, die Maasszahlen seiner
Seiten BC, AC, AP bezüglich durch e, 4, ¢ und die den Eckpunkten 4, A, C
anliegenden inneren Winkel der Reihe nach durch a, 8, y, endlich den Flächen-
inhalt des Dreiecks durch Æ Die Maasszahlen der Seiten werden stets in Grad-
maass ausgedrückt, so dass der Radius der betreffenden Kugel ohne Einfluss auf
dieselben ist und, wo es erforderlich erscheinen sollte, denselben in die Ent-
wicklungen einzuführen, in der Regel der Einfachheit halber gleich 1 gesetzt
werden kann. Auch der Flücheninhalt 7 werde zunáüchst für den Radius 1
bestimmt gedacht und kann dann auch für jeden anderen Radius z, ebenso wie
die Maasszahlen der Seiten in Lüngenmaass, wenn sie verlangt werden sollten,
nach bekannten geometrischen Sátzen (Planimetrie § 58; Stereometrie § 19, (5)
berechnet werden.