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Anh. 3, zum zweiten Abschnitt." Polygonometrie. 543 
dem anliegenden bekannten Winkel liegt, zur Abscissenlinie, berechne darauf die 
Coordinaten . des Scheitelpunktes 2, 4 2, so erhdlt man ein rechtwinkeliges 
Dreieck, dessen Hypotenuse 2, + 9 P„ und dessen eine Kathete die Ordinate 
von P, + 9 ist. Von diesem Dreieck sind die beiden Katheten bekannt, und man 
findet daher D, P, +2 Nun kennt man in dem Dreieck £, 2,..1 £542 
alle drei Seiten, und mit Hülfe der trigonometrischen Berechnung seiner Winkel 
und der Winkel des vorher genannten rechtwinkeligen Dreiecks findet man die 
gesuchten Stücke. 
Liegen dagegen b) die drei Winkel in beliebiger anderer Weise, so kann 
man ihre Scheitelpunkte £,, ^, J^ mit einander verbinden, wodurch ein 
Dreieck entsteht. Die übrigen Theile der Figur sind im Allgemeinen Polygone, 
von denen eine Seite nebst den ihr anliegenden Winkeln fehlt und welche daher 
nach dcm zweiten Hauptfall a) berechnet werden kónnen. Dadurch erhält man 
ausser Theilen der gesuchten Winkel w,,, w,, Ws die Seiten des Dreiecks 
P, P, £, und die trigonometrische Berechnung des letzteren liefert die noch 
fehlenden Theile jener Winkel. 
6. Sind die Coordinaten sámmtlicher z Eckpunkte eines Polygons im engeren 
Sinne bekannt, so kann man aus denselben den Flácheninhalt dieses Polygons 
berechnen. Derselbe erscheint als algebraische Summe von 7 Trapezen, deren 
parallele Seiten je zwei auf einander folgende Ordinaten sind, wührend die Hóhe 
jedesmal gleich der Differenz der zugehórigen Abscissen ist. 
So erhült man beispielsweise für ein Dreieck P, P, P, die Formel 
F— Qa 3) (a — 21) + (92 + 3) (3 — Va) — Os y 0s — *)b 
wofür man auch 
9. — (y, F3) (à — 31) + (92 +93) (3 — Fa) Urs R9) G3 — 93) 
schreiben kann. Führt man die Multiplication aus, so ergiebt sich, dass sich mehrere 
Glieder gegen einander aufheben, und man erhàált durch eine leichte Umformung 
QF =p, (89 — #3) d- Js (0a — 31) Ja (1 — $3). 
Diese Formel ist leicht zu behalten, wenn man den Kreislauf beachtet, 
welcher in derselben in dem Wechsel der Stellenzeiger der Coordinaten stattfindet. 
In entsprechender Weise, wie hier für das Dreieck, findet man die allgemeine 
Formel für den Flücheninhalt eines z-Ecks: 
9 (yi x3 —Ja 31) + (a Fa T Ja 92) F Qaa —Ja 38) ~~ 
+ (Fn — 1 3n — Ju Xs —3) dr (X4 — V1 92); 
oder 3. — y, (x4 — x) -- Js (3g — 91) + V7 (94 — X3) Fb Joa (à - 2) 
a codd 
7. Beispiele: 1. Von einem Sechseck seien sümmtliche Seiten und Winkel, 
wie im Folgenden unter s und zw angegeben, gemessen. Man berechne die 
Coordinaten seiner Eckpunkte und seinen Flücheninhalt unter der Voraussetzung, 
dass der erste Punkt Ai der Ursprung der Coordinaten sei und die Linie P Z4 
in der Abscissen-Achse liege. 
  
  
Auflósung: 
Bos | -æ | r | a | logs | log sina |log cosa 
11825 | 88°38',4 | | 83°38',4 | 2,51188 |9,99782 |9,04444 
21257 , 18-307!1667.99,3|977- 9,1|2,40993 | 9,99661 » | 9,09516 
| 9,T4074 
  
31109 |319-26,9/220 - 33,1| 56- 36,0) 2,03748 | 9,92161 
1-58,7 | 158 - 1,3 | 258 - 34,7 | 2,00432 9,99181 7 | 9,29673 
| 9,89222 7 | 9,79622 
— eo 0,00000 z 
76,91230- 8,4 
| 309 - 51,6| 308- 43,1 | 1,88593 
|156,1| 51-16,9 
128 - 43,1 |180- 0,0 | 2,19340 
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