556 Darstellende Geometrie. 
Affinitätsstrahlen und die Geraden, auf welcher sich je zweı entsprechende 
Gerade der beiden Figuren schneiden, heisst die Affinitätsachse. 
Die Normalprojection einer ebenen Figur und ihre Umlegung sind also affin 
liegende Figuren; die Spur der Ebene der Figur ist die Affinititsachse und die 
Affinititsstrahlen sind normal zu dieser Achse. 
19. Denkt man sich eine krummlinige ebene Figur als ein Polygon aus 
unzühlig vielen verschwindend kleinen Seiten, so wird eine Gerade, auf welcher 
eine Seite dieses Polygons liegt, zur Tangente der Curve. Die Tangenten in 
einem Punkte der Projection einer ebenen Curve und in dem entsprechenden 
Punkte ihrer Umlegung schneiden sich also in einem Punkte der Spur. 
13. Aus der Projection einer ebenen Figur, der Spur und dem 
Neigungswinkel der Ebene kann die Umlegung der Figur gefunden 
werden, und zwar nach zwei Methoden. 
Erste Methode. Es sei A'B'C'D'E' (Tafel I, 3) die Projection eines ebenen 
Fiinfecks ABCD E; 7 sei die Spur der Ebene, auf welcher dieses Fiinfeck liegt 
und « der Neigungswinkel dieser Ebene Z gegen die Projectionsebene. Wir ziehen 
AF, BG, CH DJ, EK normal su 7; auf diesen Geraden liegen die Um- 
legungen von 4, B, C, D, E. — Construiren wir ferner mit Hiilfe des Neigungs- 
winkels « das rechtwinkelige Dreieck d'A; so ist A; der Abstand des Punktes 
A von der Spur 7, also finden wir die Umlegung von 4, in dem wir FA = F'A1 
von F auf A'F abschneiden. 
Bestimmen wir nun den Schnittpunkt 8 der Geraden 4'5' mit der Spur, so muss 
die Umlegung AB durch B gehen; B ist also der Schnittpunkt von Aß mit B'G 
Ebenso findet sich C als Schnittpunkt von C'Z/ mit B1; sodann D als Schnitt 
von £C mit D'J. Zur Bestimmung von E kann man die Diagonale Z'C' benutzen, 
und E als Schnitt von C'e mit .E'K finden. 
14. Die zweite Methode besteht darin, dass man die Entfernungen aller 
Punkte der Figur von der Spur 7 bestimmt. Statt dabei mehrere solcher recht- 
winkeligen Dreiecke wie A/A, zu construiren, projicirt man die Ebene der Figur 
ABCDE lieber auf eine zweite Projectionsebene, die senkrecht zur Spur (also 
auch senkrecht zu ll, und zur Ebene 472 CD E) gewählt wird. Die Projections- 
achse MN ist dann senkrecht zu 7. Da die Ebene ABCDE senkrecht zur 
zweiten Projectionsebene ist, so ist die zweite Projection dieser Ebene eine 
Gerade NP die mit MN den Winkel a einschliesst, und die zweite Projection 
von ABCDE wird erhalten, indem von A'B'C'D'Æ' Senkrechte zu MN zieht 
ond mit diesen die Gerade NL durchschneidet. Die Strecken VA", NET, 
NC", ND", NE" sind dann parallel und gleich den von ABCDE auf die 
Spur 7' gefüllten Lothen. Macht man daher NA, = NA", NB,= NB", 
NO — NC", NDa = ND", NE3 — NE', und zieht durch 4$ £5 C9 Da £, 
Parallelen zu 7, so durchschneiden diese die Geraden AF, BG, CH DLER 
in den gesuchten Umlegungen A, B, C, D, E. 
Die Abstinde der Projectionen 4" B" C" D'E" von MN sind die Höhen der 
Punkte ABCDE über der ersten Projectionsebene ll. Mit Hülfe derselben 
kann man die Projection von 48 CD E auf irgend eine Verticalebene IIs finden. 
Ist OR die Achse für Ils, so fille man von 4'B'C'D'E' Lothe auf Q R und trage 
auf diese Lothe der Reihe nach von Q & aus die Abstinde der Punkte 4" B"C" D"E" 
von MN auf; die Endpunkte A""B"C"" D" E"" der aufgetragenen Strecken sind 
die gewünschten Projectionen von ABCDE auf Ils. 
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