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8 3. Die Ebene und ebene Figuren. 557 
15. Bei der Ausführung von Umlegungen ist es räthlich, zunächst die zweite 
Methode zu benutzen und alsdann die erste Methode zur Prüfung zu verwenden, 
indem man probirt, ob in der That die Geraden der gegebenen Projection 
und die entsprechenden Geraden der Umlegung sich in Punkten der Spur 
schneiden. 
Handelt es sich um die Umlegung einer krummlinigen Figur, so wird man 
stets beide Methoden verwenden. Nach der zweiten Methode bestimmt man 
zunüchst die Umlegungen einer genügenden Anzahl Punkte und hierauf nach der 
Methode die Tangenten der Umlegung in diesen Punkten. 
16. Es sei ein Siebeneck ABCDEFG in der Projectionsebene ll, 
gegeben. Man soll dasselbe um eine Gerade Z'seiner Ebene um einen 
gegebenen Winkel drehen und dann auf II; projiciren (Tafel I, 4). 
Die Lage des Siebenecks nach erfolgter Drehung werde mit 48 CD EFG 
bezeichnet. Das gegebene Siebeneck ist die Umlegung von ABCDEFG, es 
kommt also darauf an, aus der Umlegung einer Figur, der Spur Z' und dem 
Winkel e ihrer Ebene mit der Projectionsebene die Projection zu finden; die 
Constructionen für diese Aufgabe kónnen daher als die Umkehrungen der in 14 
und 15 gegebenen bezeichnet werden. 
Zunüchst ist es klar, dass die gesuchten Projectionen in den Lothen 
AZ BZ CE Dl, EM TH, GO liegen, die von ABCDEFG auf 7 gefällt 
werden. 
Um die Projection eines Punktes 4 zu erhalten, construirt man AHP = ©, 
ferner HA = HA und Ay/ LL AZZ; dann ist of die gesuchte Projection des 
Punktes A. 
Verbindet man A nun mit BCDEF, durchschneidet mit diesen Geraden 7” 
in aByde und verbindet diese Punkte mit 4', so schneiden die Linien a A, B4, 
44', 6.4, «4' die von BCDEF auf 7 gefillten Lothe der Reihe nach in der 
gesuchten Projectionen HC DEP. 
Wollte man A auch mit G verbinden, so würde der Schnitt dieser Geraden 
mit 7’ in eine unbequeme Lage kommen. Man zieht daher lieber GF, schneidet 
damit durch 7 in £, zieht CZ” und erhält dann G' als den Schnittpunkt von CZ" 
mit dem von G auf 7' gefällten Lothe. 
17. In einer Ebene, deren Lage durch Spur und Neigungswinkel 
gegeben, ist eine Strecke durch ihre Projection auf Il; bestimmt; man 
soll in der Ebene ein reguláres Sechseck construiren, das die ge- 
gebene Strecke zur Seite hat, und dasselbe auf 1 projiciren (Tafel I, 5). 
Seien 77T die gegebene Spur, « der Neigungswinkel, A'B' die Projection 
der gegebenen Strecke, so construirt man zunächst die Umlegung AB von AB 
in die Projectionsebene. Hierauf construirt man über AB als Seite ein reguläres 
Sechseck, dreht dasselbe um 7'bis es mit I, den Neigungswinkel « bildet und 
projicirt das gedachte Sechseck (nach 16) auf Il. 
18. Statt eine Ebene durch eine Spur und Neigungswinkel zu bestimmen, 
kann man eine Ebene auch durch die zwei Spuren (71 und 75) bestimmen, in 
denen sie die beiden Projectionsebenen Il, und Il schneidet. 
Die beiden Spuren einer Ebene schneiden die Achse in demselben Punkte, — 
nümlich in dem Punkte C, in welchem die Achse von der Ebene A getroffen 
wird. 
EEE aen oan