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8 6. Die dreiseitige Ecke, die reguläre Ecke und die regulären Polyéder. 583 
Zieht man PR L DE (also || OB) und PS LOB, und macht S7 — DR, 
so ist ZO B der dritte Kantenwinkel unserer Ecke; der an £ liegende Fláchen- 
winkel wird wie bei No. 1 gefunden. 
Ist GZZ GH (also AOC Z B04), so trifft der Kreis mit Radius G7 
den Schenkel X nur einmal; der zweite Schnittpunkt mit der unbegrenzten 
Geraden HM fällt in die Verlängerung über H hinaus oder auf Z und giebt 
keine Lösung unserer Aufgabe. 
Ist GJ — GH, doch noch grösser, als das Loth von G auf HM, so hat der 
Kreis mit der Geraden HM zwei brauchbare Schnittpunkte, und die Aufgabe 
hat daher zwei Auflösungen. 
Ist GZ gleich dem Lothe von G auf HN, so berührt der Kreis die Ge- 
rade Z//V und die Aufgabe hat nur eine Lósung, nämlich eine bei 4 recht- 
winkelige Ecke. 
Ist G/ kleiner als das Loth, so trifft der Kreis die Gerade 7747 nicht, und 
die Aufgabe ist daher nicht lósbar. 
6. Die Construction einer Ecke, von welcher zwei Fláchenwinkel und der 
ceniiberliegenden Kantenwinkelgegebensind, kann 
dem einen vonihnen geg 
erfolgen, indem man zunächst die Polarecke construirt, von welcher zwei Kanten- 
winkel und der dem einen gegeniiberliegende Flächenwinkel (nämlich die Supple- 
mente der gegebenen Winkel) bekannt sind. Aus den Stücken der Polarecke 
erhält man durch Herstellung der Supplemente die Stücke der gesuchten Ecke. 
7. Unter einer regulüren zseitigen Ecke versteht man eine Ecke, welche 
z gleiche Kantenwinkel und z gleiche Flüchenwinkel enthält. 
Schneidet man eine regulüre zseitige Ecke durch eine Kugel, die den 
Scheite] der Ecke zum Centrum hat, so ist der entstehende Kugelschnitt der 
Ecke ein regulüres zseitiges sphárisches Polygon. Ebenso, wie den entsprechen- 
den Satz für ebene reguláre z-Ecke beweist man, dass die Hauptkreise, welche 
die Winkel eines regulüren zseitigen Polygons halbiren, sich in “einem Punkte 
treffen; dieser Punkt hat gleiche sphärische Abstände von den Ecken des Poly- 
gons und ist auch gleichweit von den Seiten entfernt; er ist also das gemein- 
same Centrum eines dem sphärischen Polygon umschriebenen und eines einge- 
schriebenen Kreises; die Ecken eines regulären sphärischen Polygons liegen also 
auf einer Ebene, und bilden hier die Ecken eines regulären Polygons, dessen 
Centrum der Durchschnitt der Ebene mit dem nach dem sphärischen Centrum 
des sphärischen Polygons gezogenen Kugelradius ist. 
Für die reguläre Ecke ergeben sich hieraus die Sätze: Die Ebenen, welche 
die Winkel einer regulären zseitigen Ecke halbiren, schneiden sich in einer 
Geraden, die durch den Scheitel der Ecke geht; diese Gerade — die Achse der 
Ecke — bildet gleiche Winkel mit den Kanten der Ecke und ist gegen die 
Seiten der Ecke gleich geneigt; sie ist also die gemeinsame Achse eines der 
Ecke umgeschriebenen und eines eingeschriebenen Rotationskegels. 
Die Punkte auf den Kanten einer regulären nseitigen Ecke, welche gleich- 
tfernt ist, liegen auf einer Ebene und bilden die Ecken 
weit vom Scheitel en 
s, dessen Centrum der Durchschnitt seiner Ebene mit der 
eines reguláren z-Eck 
Achse ist. 
Sind daher von einer reguliren zseitigen Ecke bereits zwei Kantenwinkel 
und der eingeschlossene Flichenwinkel. construirt, so erginzt man die Ecke am 
einfachsten, indem man auf den drei vorhandenen Kanten vom Scheitel aus