Darstellende Geometrie, 
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gleiche Strecken abträgt und durch die Endpunkte eine Ebene legt; diese schneidet 
den vorhandenen Theil der Ecke in zwei Seiten und den eingeschlossenen 
Winkel eines regulären % Ecks; ergänzt man dasselbe und verbindet die Ecken 
dieses Polygons mit dem Scheitel der Ecke, so erhält man die noch fehlenden 
Kanten der Ecke. 
8. Eine regulüre z-seitüge Ecke ist durch ihren Kantenwinkel sowie durch 
ihren Fláchenwinkel bestimmt. 
Um z. B. eine reguláre sechsseitüge Ecke zu construiren, deren Kanten- 
winkel die gegebenen Grössen « 
(<360°:6) hat, construiren wir zu- 
nichst einreguldres Sechseck ABCDEF. 
Gehen die Kanten der Ecke durch die 
Ecken dieses Sechsecks, so liegt der 
Scheitel auf der Geraden, welche durch 
das Centrum des Sechsecks normal zur 
Ebene desselben errichtet ist. 
JederPunktdieser Central-Normalen 
liefert mit zwei folgenden Ecken 4 und 
B verbunden ein gleichschenkeliges 
(M. 299.) Dreieck, dessen Basis 4.7 ist, und das 
den gegebenen Winkel « an der Spitze hat. Wir construiren die Umlegung 
dieses Dreiecks in die Ebene des Sechsecks, indem wir Gerade durch 4 und B 
legen, die mit der Senkrechthalbirenden von AB die Winkel HGA= BZGH 
= La einschliessen. Dreht sich ABG um AB, so bewegt sich der Grundriss 
von G auf der Geraden G 7; liegt der Grundriss der Spitze des Dreiecks in O, 
so liegt die Spitze selbst auf der Central-Normalen durch O. Legen wir die 
durch OG gehende Verticalebene um, so ist O7 (-L OG) die Umlegung der 
Normal-Centralen des Sechsecks, und der Weg des Punktes G bei der Drehung 
ist der um A mit Radius ZG beschriebene Kreis, sein Schnitt mit O7 also die 
Endlage der Spitze G.  Mithin ist /O die Hohe des Scheitels der gesuchten 
Ecke über der Ebene des Sechsecks. Mit Hülfe dieser Hóhe kann man den 
Flichenwinkel unserer reguláren Ecke aus der dreiseitigen Ecke, die den Scheitel 5 
und die Kanten BA, BC, BZ hat, ebenso wie in No. 1 bestimmen. 
Hat man eine regulüre zseitige Ecke aus dem Flächenwinkel zu constuiren, 
so suche man das Supplement dieses Flichenwinkels auf und construire eine 
reguläre mseitige Ecke, welche dieses Supplement zum Kantenwinkel hat; diese 
Ecke ist die Polarecke der gesuchten. Bestimmt man den Flächenwinkel der 
Polarecke und nimmt davon das Supplement, so ist letzterer der Kantenwinkel 
der gesuchten Ecke. — 
9. Solcher Polyéder, deren Flächen alle die gleiche Anzahl Ecken haben, 
und an deren Ecken allen die gleiche Anzahl von Flächen liegt, giebt es nach 
dem EvLEr’schen Satze: »Die Anzahl der Ecken und Flächen eines Poly- 
éders ist zusammen um zwei Einheiten grösser, als die Anzahl der 
Kanten« — nicht mehr als fünf Arten: 
1. Tetraéder, mit 4 dreieckigen Flächen, 4 dreiflächigen Ecken und 6 Kanten; 
. Octaëder, mit 8 dreieckigen Flächen, 6 vierflächigen Ecken, und 12 Kanten; 
. Hexaéder, mit 6 viereckigen Fláchen, 6 dreifláchigen Ecken und 12 Kanten; 
. Dodecaéder, mit 12 fünfeckigen Flüchen, 20 dreiflàchigen Ecken und 
30 Kanten; 
  
  
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