det 
jen 
cen 
len 
rch 
ren, 
ine 
lese 
der 
kel 
Hen, 
ach 
jly- 
der 
ten; 
ten; 
en, 
und 
A 
585 
8 6. Die dreiseitige Ecke, die reguläre Ecke und die regulüren Polyéder. 
5. Icosaéder, mit 20 dreieckigen Flüchen, 12 fünfflàáchigen Ecken und 30Kanten; 
Man überzeugt sich leicht, dass dergleichen Polyéder, über die der EULER’sche 
Satz nur aussagt, dass ihren Bestimmungen von Seiten dieses Satzes nichts Wider- 
sprechendes nachgewiesen werden kann, wirklich existiren. Die Frage, ob es 
von jeder der fünf Polyéderarten auch reguläre Polyeder giebt, d. i. solche, die 
von regulären Flächen umschlossen werden und reguläre Ecken haben, kann 
nur beantwortet werden, indem man reguläre Polyeder, von den nothwendigen 
Bestimmungsstücken ausgehend, zu construiren sucht. 
10. Das reguläre Tetraëder. Um ein reguläres Tetraéder (Tafel II, 6) mit 
der Kante a zu erhalten, construiren wir zunächst eine Fläche derselben, also 
ein gleichseitiges Dreieck 4C, dessen Seite a ist. 
Wir construiren bei A eine Ecke des reguliren Tetraéders, d. i. eine 
dreiseitige reguläre Ecke mit dem Kantenwinkel 60°, indem wir die gleichseitigen 
Dreiecke ABD und ACE hinzufügen und von D und Æ Lothe zu AB und AC 
ziehen; diese Lothe sind die Geraden BZ und CD; durch ihren Schnittpunkt 
F' geht der Grundriss der dritten Kante, dieser ist daher eine Winkelhalbirende 
des Dreiecks ABC. Ziehen wir £'Z.L.F'E und machen GH= GE, so ist 
F'H die Höhe des Punktes 7 über der Ebene A AC. 
Somit haben wir am Scheitel 4 eine Ecke des regulären Tetraëders und 
die drei an dieser Ecke liegenden Flächen ABC, ACF und AB F erhalten. 
; Da nun CB = CF=FB =a, so ist auch CBF ein gleichseitiges Dreieck, 
mithin sind, nach Hinzufügung der Ebene CJ, die Ecken bei B, C und 
F reguläre Tetraëder-Ecken, also ist AB CF die Projection des gesuchten 
regulären Tetraëders auf eine seiner Flächen ARC. 
Aus der Projection und der Hóhe #Æ#"haben wir noch eine Verticalprojection 
A" B" C" F'" und eine Projection A4" B" C"' P" auf eine Ebene entwickelt, welche 
die Spur NN (L MM) und den Neigungswinkel a hat. Bei letzterer hat man 
sich das Auge in hinlinglich grosser Entfernung von der Projectionsebene auf 
derselben Seite zu denken, auf welcher der projicirte Korper liegt, und den 
Körper selbst undurchsichtig; die Kanten, welche man dann sehen kann, sind 
als ununterbrochene Linien gezeichnet, die unsichtbaren als unterbrochene. 
11. Das reguláre Octaéder (Tafel III, 1). An jeder Ecke des reguláren 
Octaéders liegen vier reguläre Dreiecke; die Seiten derselben, welche nicht nach 
dem Scheitel der Ecke gehen, bilden ein Quadrat; dieses Quadrat sei ABC D» 
A'B'C.D' sei dessen Grundriss auf einer zu 48 CD parallelen Projectionsebene. 
Wir projiciren ABCD sowie alle durch die Construction gelieferten Punkte und 
Strecken auf eine Verticalebene durch MM und auf eine schräge Ebene, welche 
NN zur Spur und den Neigungswinkel a hat. Auf der Central-Normalen des 
Quadrats ABCD haben wir den Punkt aufzusuchen, der von den Ecken des 
Quadrats um die Seite desselben absteht; dieser Punkt Æ liegt um die halbe 
Diagonale Æ'D' des Quadrats über (oder unter) demselben. Wir legen Ebenen 
durch diesen Punkt Æ und durch die Seiten des Quadrats und erhalten so eine 
Ecke des regulären Octaëders und die an ihr liegenden Flächen Z4B, EBC, 
ECD, EDA 
Bei À liegen nun zwei Kantenwinkel und ein Flächenwinkel einer 
reguláren Octaéderecke, DEB sind drei Ecken eines Quadrats; verlängern wir 
die Centralnormale nach unten, suchen den Punkt / auf, der auf ihr so weit 
unterhalb ABCD liegt, wie Z oberhalb, so ist DEB ein Quadrat; legen wir