586 Darstellende Geometrie.
zwei Ebenen durch 4 und D F und ZZ, so ist damit eine reguläre Octaëderecke
bei 4 vervollständigt.
Bei B liegen nun drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen
Flächenwinkel (an den Kanten BZ und J£ A) einer reguláren Octaéderecke; fügen
wir die Ebene BFC hinzu, so ist die Octaéderecke vollstindig.
Ebenso finden wir jetzt bei C drei Kantenwinkel und die von ihnen einge-
schlossenen Flichenwinkel einer reguliren Octaéderecke, die wir durch die Ebene
CFD vervollständigen; durch dieselbe ist auch die Octaëderecke bei D vervoll-
ständigt worden und das Polyéder ist nun geschlossen. Auch ist bei / noch eine
Ecke entstanden, die ebenso wie die bei Æ eine reguläre Octaëderecke ist.
Aus dieser Construction geht hervor, dass man ein reguläres Octaëder erhält,
wenn man drei gleiche Gerade mit ihren Mittelpunkten so zusammenlegt, dass
sie miteinander rechte Winkel bilden; die sechs Endpunkte sind dann die Ecken
eines regulären Octaëders.
12. Das reguläre Hexaëder (Tafel III, 2) wird von Quadraten umschlossen,
deren je drei an einer Ecke liegen. Die Ecken und Flüchen an den Eckpunkten
der Hexaëderfläche 4 BCD werden daher erhalten, indem wir in A4 7 C.D Lothe zur
Ebene des Quadrats errichten, und 4a — Bf = Cy= D3 = AB machen. Die
Punkte «818 liegen dann in einer Parallelebene zu 47 C.D und bilden die Ecken
eines Quadrats, durch welches reguläre Hexaëderecken bei e, f, y und à vervoll-
stindigt werden.
13. Das regulire Dodecaéder (Tafel III, 3). In jeder Ecke des regulären
Dodecaéders stossen drei regulire Fiinfecke zusammen, der Kantenwinkel der Dode-
caéderecke beträgt demnach 108°; die Endpunkte der drei Kanten einer Ecke
bilden ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seite eine Diagonale einer Fläche des
Dodecaéders ist.
Wir entwerfen in der Projectionsebene II zunüchst ein reguláres Fünfeck, das
die gegebene Kante des Dodecaéders zur Seite hat.
Die dritte Kante bei 4 bildet mit 4.72 und AZ gleiche Winkel (108°), liegt
also in der Ebene, welche durch die Halbirungslinie des Winkels 5.4 E geht und
auf der Ebene des Winkels senkrecht steht; der Grundriss dieser Kante fállt daher
in die Halbirungslinie o4 des Winkels B4Z. Construirt man in II das reguläre
Fünfeck 484.8, so hat man dasselbe um 47 zu drehen, bis der Grundriss
von a in wd liegt. Zieht man ad -L 45, so kommt nach der Drehung
der Grundriss von « nach #'. Zieht man ferner fe -L AB und schneidet ße durch
CF, so ist G' der Grundriss von à nach der Drehung. Wir werden nachher
sehen, dass «.7' — o G', dass also 7'G' die Seite des dem Kreise mit dem Halb-
messer u/' eingeschriebenen regulären Zehnecks ist. Wir bestimmen noch die
Projection des fünften Eckpunkts Z7. Machen wir 7r 1 67" und dn = dq, sowie
G'Y L 3 F', so sind F'n und (9 die Hóhen der zu 7' und G' gehórenden Punkte über
der Ebene A45 C D £F.
Nun liegen bei B zwei Kantenwinkel HBA, ABC, und ein Flächen-
winkel (an der Kante BA) der regulären Dodecaëderecke; dieselbe wird daher
durch Hinzufügung der Ebene CBH vervollständigt, und es ist CBH = 108°.
Wir ergänzen das reguläre Fünfeck, das CB und BÆ zu Seiten hat. — Ebenso,
wie soeben die Dodecaéderecke bei Æ, ergänzen wir nun nacheinander die
Ecken bei C und D.
Legen wir zur Ergänzung der Ecke Æ eine Ebene durch OZ und £4, so
schneidet diese die Ebene 4.7 und es entsteht bei 4 eine Ecke, welche einen
^h Po P