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8 6. Die dreiseitige Ecke, die reguláre Ecke und die reguláren Polyéder. 587 
Kantenwinkel, Æ AB, und zwei Flächenwinkel, an AÆ und an 4 5, einer regulären 
Dodecaëderecke enthält, also eine reguläre Dodecaëderecke ist; es ist daher A/ 
die dritte Kante dieser Ecke und OÆAF sind vier Ecken eines regulären Fünf- 
ecks, dessen fünfte P wir hinzufügen. 
Wir erhalten so eine offene polyedrische Figur, bestehend aus einem regu- 
liren Fünfeck als Basis, an dessen Seiten sich reguläre Fünfecke anlegen, 
deren jedes mit dem nächsten, das letzte mit dem ersten, eine Seite gemein hat. 
An jedem der Punkte 7, Z, X, M und O liegen zwei Winkel von 108°, die 
einen Flächenwinkel der regulären Dodecaöderecke einschliessen. Wir ergänzen 
diese fünf Ecken durch Hinzufügung der dritten Ebenen dieser Ecken, also durch 
die Ebenen PFG, GZ7, IKL, LMN, NO P; je zwei benachbarte dieser fünf 
Ebenen schneiden sich in Kanten, die von G, 7, L, JV, O ausgehen, und bilden 
an diesen Punkten mit den schon dort vorhandenen Fünfecken dreiseitige Ecken, 
welche einen Kantenwinkel (z. B. ZG Z) und zwei Fláchenwinkel (an GF und GH) 
einer reguliren Dodecaéderecke haben; also sind diese Ecken reguläre Dode- 
caéderecken. 
Machen wir auf den von G, Z7, L ausgehenden Kanten GQ = IR = LS 
— A B, so entstehen die reguláren Pentagone G/77AQ und IRL SA. 
Bei R finden wir nun wieder zwei Kantenwinkel von 108°, die einen Flächen- 
winkel der regulären Dodecaöderecke (an £7) einschliessen; durch die Ebene Q.A,S 
wird daher die Ecke Æ vervollständigt. 
Die Ebene QRS schneide die von JV und Pausgehenden Kanten in Z'und U. 
Die Ecke S hat einen Kantenwinkel ÆSZ und an SÆ und SZ zwei Flächen- 
winkel der regulären Dodecaëderecke; also ist die Ecke 5 eine reguläre Dode- 
caëderecke und RST =LST=10%°. Es ist daher ZSZ NM ein reguläres 
Fünfeck. 
Ebenso schliessen wir, dass die bei 7' und dann, dass die bei U und bei Q 
entstandenen Ecken reguläre Dodecaëderecken sind; woraus sich dann weiter 
ergiebt, dass die Fünfecke /V7 U PO und PUQGF regulär sind, sowie dass die 
Winkel S7U= 7UQ = UQR = 108°, dass also auch Q.AS ZU ein reguläres 
Fünfeck ist. 
Hierdurch ist der Nachweis und die Construction des regulären Dodecaëders 
vollendet. 
Dreht man das Polyeder um die Centralnormale des Fünfecks 45 CDE bis 
A nach 2 gelangt (also um 72°), so kommt jede Ecke dieses Fünfecks an die 
Stelle der nichstfolgenden; daher gelangt auch jedes an den Seiten dieses Fünf- 
ecks liegende Fünfeck in die Lage des folgenden; damit auch jedes an G 7, 
IKL, LM N, NO, PFG anliegende Fünfeck in die Lage des folgenden; also 
endlich auch jede Ecke des Fünfecks Q ÆS Z'U an die Stelle des folgenden. Es 
sind daher die Fünfecke 4.2C.D.E und QARST'U parallel und haben dieselbe 
Centralnormale. 
Hieraus folgt weiter, dass die Projectionen G'Q', FR I'S, NT, Pll dic 
Winkel des Fünfecks Q'A',S' Z" U' halbiren, also durch c gehen; dass die Projectionen 
der an Q RS TU liegenden Fiinfecke congruent denen der an 4 BCD £ liegenden 
Fiinfecke sind; dass die Punkte 7, G, 7, 7, K, L, M, N, O, P von o gleichen Ab- 
stand haben; und endlich, dass der Abstand der Punkte 7, Z, K, M, O von 
der Ebene ABCDE gleich dem Abstande der Punkte G, Z L, N, P von der 
Ebene QRS TU ist,