588 Darstellende Geometrie. 
Aus diesen Angaben lassen sich Projectionen auf verticale oder schräge 
Ebenen leicht construiren. 
14. Das reguläre Icosaëder (Tafel II, 4). Eine Ecke des regulären Icosaë- 
ders wird erhalten, indem wir in einer Ebene parallel zur Projectionsebene ein 
regulüres Fünfeck 4.7 C.D E construiren, das die Kante des Icosaéders zur Seite hat. 
Machen wir wa L oA und A'a = AE, so ist wa die Strecke, um welche der 
Scheitel der Icosaéderecke, deren Kanten durch die Punkte 42 C.D E gehen, von 
der Ebene ABCDE entfernt ist Wir wühlen noch eine zweite Projections- 
ebene Il; normal zu B'Z' und erhalten als zweite Projection der Icosaéderecke 
die Figur «9 A4" B" C". 
Bei A liegen zwei Kantenwinkel und ein Flächenwinkel der regulären Ico- 
saëderecke; wir fügen zu den Ecken Z2, «o, Æ eines regulären Fünfecks die noch 
fehlenden Ecken # und G hinzu und ergänzen dadurch bei 4 eine reguläre 
Icosaéderecke. Die Ebene des Fünfecks Bo ZFCG ist normal zu II,, seine Pro- 
jection auf II, also die Gerade o" A". 
Die Fünfecke ABCDE und Bo EFG sind congruent und haben die Ge- 
rade BE gemein; es ist daher B"A" = B''œ", und machen wir B"G" = B"(", 
so ist G'" der Aufriss von G und Z; die Grundrisse G' und / legen in den 
Geraden, welche durch C' und 2' normal zu J'£E' gelegt werden. 
G hat gleiche Abstände von B und 4, folglich liegt G auf der normal- 
halbirenden Ebene von AB, und G' auf der Normalhalbirenden von A'B', die 
zugleich Halbirende des Winkels 4'w B' ist. 
Aehnlich ergänzen wir nun der Reihe nach die regulären Icosaëderecken 
bei 2, C, D und Z und erhalten dabei die Punkte 77, 7, K, deren Grundrisse 
auf den Halbirenden der Winkel Z'oC', C'o.D', D'o E' liegen und von « den- 
selben Abstand haben, wie 7] und G*. 
Drehen wir das Fünfeck 4C D E um die Centralnormale um 72°, so kommt 
jede der Icosaéderecken bei 4, 5, C; D, E mit der nüchsten zur Deckung, mit- 
hin kommt jeder der fünf Punkte ZG Z7K in die Lage des nüchstfolgenden. 
Hieraus folgt, dass FGHIK ein regulüres Fünfeck ist; da #G = 4B, so sind 
die Fünfecke ZG HIK und ABCDE congruent; es ist also auch oG' =wod' 
und die Punkte A'G'B'H'C'I'D'K'E'F' sind die Ecken eines reguláren Zehnecks. 
Bei 7 liegen jetzt drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen 
Flichenwinkel (an #4 und FE) einer regulären Icosaëderecke; GAÆÆ sind 
daher vier Ecken eines regulären Fünfecks; wir ergänzen dasselbe durch Hinzu- 
fügung der fünften Ecke Z und vervollständigen dadurch die Ecke #. Es wird 
sich nachher zeigen, dass der Grundriss von Z mit w zusammenfällt. 
Bei G liegen nun vier Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen 
Flächenwinkel einer regulären Icosaëderecke; Z ÆBAF ist daher ein regelmäs- 
siges Fünfeck und die Ecke G wird durch Hinzufügung der Ebene HGL ver- 
vollstándigt. 
In gleicher Weise vervollständigen wir durch die Ebene Z Z/ die Ecke bei A. 
Dann bleibt noch eine Lücke ZZ; fügen wir die Ebene ZZ hinzu, so schliessen 
wir das Polyeder und vervollständigen zugleich bei / und X reguläre Icosaëder- 
ecken. Dabei ist nun die fünfseitige Ecke Z entstanden; da die Kanten 
durch die Eckpunkte des regulären Fünfecks FGZÆ7Æ gehen und gleich der Seite 
desselben sind, so ist die Ecke Z ebenfalls eine reguläre Icosaëderecke, also 
das erhaltene Polyëder in der That ein reguläres Icosaëder. 
Da die Ecke Z regulir ist, so liegt Z auf der Centralnormalen von FGHIK, 
      
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
    
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